Question

已知x₁，x₂是方程x²-3x+1=0两个根，则4x₁²-12x₂+11的值为

 

．

Answer 1

考点：根与系数的关系,一元二次方程的解

专题：计算题

分析：先根据一元二次方程解的定义得到x₁²-3x₁+1=0，即x₁²=3x₁-1，则4x₁²-12x₂+11=12（x₁-x₂）+7，再根据根与系数的关系得x₁+x₂=3，x₁•x₂=1，所以|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-4

=

5

，于是得到4x₁²-12x₂+11=12（x₁-x₂）+7=±12

5

+7．

解答：解：∵x₁是方程x²-3x+1=0的根，
∴x₁²-3x₁+1=0，即x₁²=3x₁-1，
∴4x₁²-12x₂+11=4（3x₁-1）-12x₂+11
=12（x₁-x₂）+7，
∵x₁，x₂是方程x²-3x+1=0两个根，
∴x₁+x₂=3，x₁•x₂=1，
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

9-4

=

5

，
∴4x₁²-12x₂+11=12（x₁-x₂）+7=±12

5

+7．
故答案为±12

5

+7．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x₁，x₂，则x₁+x₂=-

b

a

，x₁•x₂=

c

a

．也考查了一元二次方程的解．