Question

11．在平面直角坐标系xOy中，A（t，0），B（t+$\sqrt{3}$，0），对于线段AB和x轴上方的点P给出如下定义：当∠APB=60°时，称点P为AB的“等角点”．
（1）若t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在点C（0，$\frac{3}{2}$），D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）中，线段AB的“等角点”是C、D；
（2）直线MN分别交x轴、y轴于点M、N，点M的坐标是（6，0），∠OMN=30°．
①线段AB的“等角点”P在直线MN上，且∠ABP=90°，求点P的坐标；
②在①的条件下，过点B作BQ⊥PA，交MN于点Q，求∠AQB的度数；
③若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t＜4-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （1）根据给定的t值找出A、B点的坐标，再利用解三角形的方法讨论C、D、E点是否满足“等角点”的条件即可得出结论；
（2）①画出点N在y轴正半轴时图形，通过角的计算得出∠PAB=∠OMN，从而得出“PA=PM，AB=BM”，再通过解直角三角形即可得出P点的坐标，同理可得出点N在y轴负半轴时的P点的坐标；②通过角的计算找出∠BMQ=∠MQB=30°，再结合外角的性质得出BQ=BM=AB即得出△ABQ是等边三角形，从而得出结论，同理点N在y轴负半轴时，结论相同；
（3）通过构建与y轴以及与线段MN相切的圆，找出点A与点B的临界点，求出此时的t值，从而得出线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围．

解答 解：（1）当t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$时，点A（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），点B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
∵点C（0，$\frac{3}{2}$），OC=$\frac{3}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，且点O为线段AB的中点，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠ACB=60°，点C是线段AB的“等角点”；
∵点D（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），B、D横坐标相等，
∴BD⊥x轴于点B．
∵AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\sqrt{3}$，BD=1-0=1，tan∠ADB=$\frac{AB}{BD}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ADB=60°，点D是线段AB的“等角点”；
∵点E（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$），A、E横坐标相等，
∴AE⊥x轴于点A．
∵AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$-（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=$\sqrt{3}$，AE=$\frac{3}{2}$-0=$\frac{3}{2}$，tan∠AEB=$\frac{AB}{AE}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴∠AEB≠60°，点E不是线段AB的“等角点”．
综上可知：点C、D是线段AB的“等角点”．
故答案为：C、D．
（2）①当点N在y轴正半轴时，如图1，

∵∠APB=60°，∠ABP=90°，
∴∠PAB=30°，
又∵∠OMN=30°，
∴PA=PM，AB=BM．
∵AB=$\sqrt{3}$，
∴BM=$\sqrt{3}$，
∴PB=1．
∴P（6-$\sqrt{3}$，1）．
当点N在y轴负半轴时，同理可得点P（6+$\sqrt{3}$，1）．
②当点N在y轴正半轴时，如图2，

∵BQ⊥AP，且∠APB=60°，
∴∠PBQ=30°，
∴∠ABQ=60°，
∴∠BMQ=∠MQB=30°，
∴BQ=BM=AB，
∴△ABQ是等边三角形．
∴∠AQB=60°．
当点N在y轴负半轴时，同理可得∠AQB=90°．
③以AB=$\sqrt{3}$做底，AO′=BO′为腰，∠AO′B=120°作三角形，如图3所示．

∵AO′=BO′，AB=$\sqrt{3}$，∠AO′B=120°，
∴AO′=1，O′O″=$\frac{1}{2}$．
（i）在（2）的基础上，以直线y=$\frac{1}{2}$上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与y轴相切，且O′在y轴右侧时，如图4所示，

此时O′的坐标为（1，$\frac{1}{2}$），此时A点的横坐标为1-$\frac{1}{2}$AB=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
即t=1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（ii）在（2）的基础上，以直线y=$\frac{1}{2}$上的点O′为圆心，1为半径作圆，当圆O′与线段MN相切，且O′在MN下方时，如图5所示．

∵M′F=$\frac{1}{2}$，∠OMN=30°，
∴MF=$\frac{M′F}{tan∠OMN}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵O′D=1，∠O′M′D=∠OMN=30°，
∴O′M′=$\frac{O′D}{sin∠O′M′D}$=2．
此时点B的横坐标为OM-MF-O′M′+$\frac{1}{2}$AB=4，
∴t+$\sqrt{3}$=4，t=4-$\sqrt{3}$．
综上可知：若线段AB的所有“等角点”都在△MON内部，则t的取值范围是1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t＜4-$\sqrt{3}$．
故答案为：1-$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜t＜4-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了一次函数的综合应用、角的计算、解直角三角形、切线的性质以及等腰（等边）三角形的性质，解题的关键：（1）通过三角形的计算找出角的值；（2）①通过解直角三角形求出点P的坐标；②找出△ABQ是等边三角形；③通过相切寻找临界点．本题属于中档题，（1）（2）难度不大，（2）中③难度不小，在寻找A、B点的过程中，通过构建满足条件的圆，来寻找临界点，解题过程不难，但是点的寻找比较困难，此处与切线的性质练习较大，在日常练习中应加强训练．