如图.△ABC中.AB=AC=10厘米.BC=12厘米.D是BC的中点.点P从B出发.以a厘米/秒的速度沿BA匀速向点A运动.点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发.沿DB匀速向点B运动.其中一个动点到达终点时.另一个动点也随之停止运动.设它们的运动时间为t秒．(1)若a=2.那么t为何值时△BPQ与△BDA相似?(2)已知M为AC上一点.若当t=32时.四边形PQCM是平行四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=12厘米，D是BC的中点，点P从B出发，以a厘米/秒（a＞0）的速度沿BA匀速向点A运动，点Q同时以1厘米/秒的速度从D出发，沿DB匀速向点B运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设它们的运动时间为t秒．
（1）若a=2，那么t为何值时△BPQ与△BDA相似？
（2）已知M为AC上一点，若当t=

时，四边形PQCM是平行四边形，求这时点P的运动速度．
（3）在P、Q两点运动工程中，要使线段PQ在某一时刻平分△ABD的面积，点P的运动速度应限制在什么范围内？【提示：对于一元二次方程，有如下的结论：若x₁•x₂是方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两个根，则x₁+x₂=-

，x₁•x₂₌

】

考点：相似形综合题,解一元一次方程,根的判别式,根与系数的关系,等腰三角形的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：压轴题

分析：（1）当a=2时，可以得到BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10；而△BPQ与△BDA相似，对应关系不确定，故需分△BPQ∽△BDA和△BQP∽△BDA两种情况讨论；根据相似三角形的性质建立方程，即可求出对应t的值．
（2）当t=

时，可以得到BP=

a，DQ=

，BQ=

，BA=10．由四边形PQCM是平行四边形可得PQ∥AC，从而有△BPQ∽△BAC，根据相似三角形的性质建立方程，即可求出点P的运动速度．
（3）由线段PQ平分△ABD的面积得S_△BPQ=

S_△ABD，从而有

at(6-t)=

×6×8，整理得：at²-6at+60=0．由题可知该方程有正的小于6的实数根．由根与系数的关系及根的判别式就可确定a的范围．

解答：解（1）当a=2时，BP=2t，DQ=1×t=t．
∵D是BC中点，BC=12，
∴BD=DC=6．
∴BQ=6-t．
①当△BPQ∽△BDA时，如图1，

则有

．
∵BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10，
∴

6-t

．
解得：t=

．
②当△BQP∽△BDA时，如图2，

则有

．
∵BP=2t，BD=6，BQ=6-t，BA=10，
∴

6-t

．
解得：t=

．
∴当a=2时，t=

秒或

秒时，△BPQ与△BDA相似．

（2）当t=

且四边形PQCM是平行四边形时，如图3，
则有PQ∥AC，BP=

a，DQ=1×

，BQ=6-

．
∵PQ∥AC，
∴△BPQ∽△BAC．
∴

．
∵BP=

a，BA=10，BQ=

，BC=12，
∴

．
解得：a=2.5．
∴点P的速度是2.5厘米/秒．
（3）作PE⊥BC，垂足为E，如图4，
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC．
∵AB=10，BD=6，
∴AD=8．

∵PE⊥BC，AD⊥BC，
∴△BEP∽△BDA．
∴

．
∵AD=8，BP=at，BA=10，
∴

．
∴EP=

at．
∴S_△BPQ=

BQ•EP=

（6-t）•

at=

at(6-t)．
∵线段PQ平分△ABD的面积，
∴S_△BPQ=

S_△ABD．
∴

at(6-t)=

×6×8．
整理得：at²-6at+30=0．（a＞0）
由题可得：△=（-6a）²-4a×30≥0．
解得：a≥

．
此时t₁•t₂=

＞0，t₁+t₂=6＞0．
∴方程at²-6at+60=0有两个小于6的正实根．
∴点P的速度应大于或等于

厘米/秒．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、根的判别式、根与系数的关系、勾股定理、解一元一次方程等知识，综合性比较强，本题还考查了分类讨论的思想，有一定的难度．

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