Question

1．某研究性学习小组进行了探究活动，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点．

（1）如图①，当三角板的一条直角边与OB重合时，点M与点A也重合，
①求此时CN的长；②写出AC²、CN²、BN²满足的数量关系即BN²=AC²+CN²；
（2）当三角板旋转到如图②所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合），
①猜想图②中AM²、CM²、CN²、BN²这四条线段满足的数量关系：AM²+BN²=NC²+MC²；
②说明你得出此结论的理由．
（3）若在三角板旋转的过程中满足CM=CN，请你利用图③并联系上述结论，求出此时BN的长．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理得到BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，由相似三角形的性质得到$\frac{BO}{BC}=\frac{BN}{AB}$，求得BN=$\frac{25}{4}$，于是得到结论；
②连接AN，根据勾股定理即可得到结论；
（2）①根据已知条件猜出结论；②延长MO，使OK=MO，连接KB，NM，NK，根据全等三角形的性质得到KB=AM，KO=MO，∠A=∠KBO，根据勾股定理得到KB²+BN²=KN²，NC²+MC²=NM²，根据等式的性质得到KB²+BN²=NC²+MC²，等量代换即可得到结论；
（3）设CM=CN=x，则BN=8-x，AM=6-x，代入AM²+BN²=NC²+MC²，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）①∵∠C=90°，AB=10，AC=6，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=8，
∵点O是AB的中点，
∴BO=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵∠BON=∠C=90°，
∵∠B=∠B，
∴△BNO∽△BAC，
∴$\frac{BO}{BC}=\frac{BN}{AB}$，
∴$\frac{5}{8}=\frac{BN}{10}$，
∴BN=$\frac{25}{4}$，
∴CN=BC-BN=$\frac{7}{4}$；
②如图①，连接AN，
∵NO⊥AB，AO=BO，
∴AN=BN，
在Rt△ACN中，AN²=AC²+CN²，
即BN²=AC²+CN²，
故答案为：BN²=AC²+CN²；

（2）①AM²+BN²=NC²+MC²；
②如图2，延长MO，使OK=MO，连接KB，NM，NK，
在△KOB和△MOA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOM=∠BOM}\\{OM=OK}\end{array}\right.$，
∴△KOB≌△MOA，
∴KB=AM，KO=MO，∠A=∠KBO，
∵NO⊥MO，
∴NK=NM，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠MBO+∠ABC=90°，
在Rt△KBN，Rt△MNC中，KB²+BN²=KN²，NC²+MC²=NM²，
∴KB²+BN²=NC²+MC²，
即AM²+BN²=NC²+MC²；
故答案为：AM²+BN²=NC²+MC²；

（3）∵（2）①中已经证明：AM²+BN²=CN²+CM²，
设CM=CN=x，则BN=8-x，AM=6-x，
代入上式得：x=$\frac{25}{7}$，
∴BN=$\frac{31}{7}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证AE=BN是解题的关键．