分析 (1)根据矩形的对角线相等且平分的性质得:OA=OD,所以点D在⊙O上;
(2)证明△AEF≌△BGF,则AF=BF;
(3)先在Rt△OED中,由勾股定理求⊙O的半径为3$\sqrt{2}$;再利用勾股定理计算AD=$\sqrt{{4}^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}$=2$\sqrt{6}$,
AB=$\sqrt{(6\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{6})^{2}}$=4$\sqrt{3}$,证明△AFD≌△BFH,可得S△BFH=$\frac{1}{2}$BF•BH,代入计算即可.
解答 证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=OC=OD=OB,
∵以O为圆心,OA长为半径作⊙O,
∴点D在⊙O上;
(2)同理,点B也是⊙O上,
连接BG,
∵∠BAD=90°,
∴BD也是直径,
∴∠BGD=90°,
∵BK⊥AC,BK∥DH,
∴∠GEK=90°,
∴BG∥AC,
∴∠FAE=∠FBG,
∵F是EG的中点,
∴EF=FG,
∵∠AFE=∠BFG,
∴△AEF≌△BGF,
∴AF=BF,
∴F是AB的中点;
(3)由(2)得:△AEF≌△BGF,
∴AE=BG,
∵OE⊥DG,
∴DE=EG=4,
∵OB=OD,
∴OE是△DGB的中位线,
∴OE=$\frac{1}{2}$BG,
∴OE=$\frac{1}{2}$AE,
设OE=x,则AE=2x,
∴OD=3x,
在Rt△OED中,由勾股定理得:OE2+ED2=OD2,
∴x2+42=(3x)2,
x=$±\sqrt{2}$,
∴OD=3$\sqrt{2}$,即⊙O的半径为3$\sqrt{2}$;
Rt△AED中,AE=2$\sqrt{2}$,ED=4,
∴AD=$\sqrt{{4}^{2}+(2\sqrt{2})^{2}}$=2$\sqrt{6}$,
Rt△ABD中,BD=2OD=6$\sqrt{2}$,
AB=$\sqrt{(6\sqrt{2})^{2}-(2\sqrt{6})^{2}}$=4$\sqrt{3}$,
∵AF=BF,∠AFD=∠BFH,∠DAF=∠ABH=90°,
∴△AFD≌△BFH,
∴BH=AD=2$\sqrt{6}$,
BF=AF=$\frac{1}{2}$AB=2$\sqrt{3}$,
∴S△BFH=$\frac{1}{2}$BF•BH=$\frac{1}{2}$×$2\sqrt{3}×2\sqrt{6}$=6$\sqrt{2}$.
点评 本题是圆的综合题,考查了全等三角形的性质和判定、矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理等知识点,难度适中,本题多次运用勾股定理计算线段的长.
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A. | bc-ab+ac+c2 | B. | a2+ab+bc-ac | C. | ab-bc-ac+c2 | D. | bc-ab+ac+c2 |
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A. | x=$\frac{2}{3}$y-10 | B. | x=$\frac{2}{3}$y+10 | C. | y=$\frac{3}{2}$x-15 | D. | y=$\frac{3}{2}$y+15 |
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