Question

如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠ACD=90°，∠B=∠D．
（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若AB=3cm，BC=5cm，点P从B点出发，以1cm/s的速度沿BC→CD→DA运动至A点停止，则从运动开始经过多少时间，△ABP为等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）利用AAS先证明△ABC≌△CDA，可得AD=BC，AB=CD，所以可证四边形ABCD是平行四边形；
（2）利用勾股定理先求得AC的长，再根据点P在BC上，点P在CD上，点P在AD上三种情况，结合等腰三角形的判定和勾股定理进行计算即可．

解答：解：（1）证明：在△ABC和△CDA中，∵

∠BAC=∠ACD=90° ∠B=∠D AC=CA

，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=

BC2-AB2

=

52-32

=4．
设经过ts时，△ABP为等腰三角形．当P在BC上时，
①BA=BP=3，即t=3时，△ABP为等腰三角形；
②BP=AP=

1

2

BC=

5

2

，即t=

5

2

时，△ABP为等腰三角形；
③AB=AP．过A作AE⊥BC，垂足为E，AE=

AB•AC

BC

=

12

5

．

在Rt△ABE中，BE=

AB2-AE2

=

32-( 12 5 )2

=

9

5

．
∴BP=2BE=

18

5

，即t=

18

5

时，△ABP为等腰三角形；
当P在CD上不能得出等腰三角形；
当P在AD上时，只能AB=AP=3，
∴BC+CD+DP=10，即t=10时，△ABP为等腰三角形．
答：从运动开始经过

5

2

s或3s或

18

5

s或10s时，△ABP为等腰三角形．

点评：本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定及勾股定理等知识，注意要分情况考虑问题．