解:(1)由题意可知A(1,0),B(3,0)
∵二次函数y=-x
2+bx+c的图象经过点A,B两点,
∴
,
解得:
,
∴二次函数的解析式y=-x
2+4x-3;
(2)如图,设直线l与⊙O相切于点E,
∴O
1E⊥l,
∵O
1O=2,O
1E=1,∴OE=
,
过点E作EH⊥x轴于点H,
∴EH=
,OH=
,
∴E(
,
),
∴l的解析式为:y=
x,
根据对称性,满足条件的另一条直线l的解析式为:y=-
x,
∴所求直线l的解析式为:y=
x或y=-
x,
(3)结论:PC-PM≤BC-BM,
理由如下:
∵M为二次函数y=-x
2+bx+c的图象上一点且横坐标为2,
∴M(2,1)
①当点P于点B重合时,
有PC-PM=BC-BM,
②当P异于B时,
∵直线BM经过点B(3,0)、M(2,1),
∴直线BM的解析式为y=-x+3,
∵直线BM与y轴相交于点F的坐标为F(0,3),
∴F(0,3)于C(0,-3)关于x轴对称
联结结PF,
∴BC=BF,PF=PC,
∴BC-BM=BF-BM=MF,PF-PM=PC-PM,
∵在△FPM中,有PF-PM<FM,
∴PC-PM<BC-BM,
综上所述:PC-PM≤BC-BM.
分析:(1)根据已知条件先求出A和B点的坐标,再代入y=-x
2+bx+c求出b和c的值即可;
(2)设直线l与⊙O相切于点E,过点E作EH⊥x轴于点H,由已知数据求出E点的坐标即可求出直线l的解析式;
(3)PC-PM与BC-BM的大小关系是PC-PM≤BC-BM,此小题要分两种情况讨论分别是①当点P于点B重合时,有PC-PM=BC-BM,②当P异于B时,PC-PM<BC-BM.
点评:本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、直线解析式、直线和坐标轴交点坐标、切线的性质以及三角形的三边关系,题目的综合性强,难度中等,特别是第三小题解答时注意分类讨论的数学思想运用,防止漏解.