【题目】如图,等腰Rt△BPQ的顶点P在正方形ABCD的对角线AC上(P与AC不重合),∠PBQ=90°,QP与BC交于E,QP延长线交AD于F,连CQ.
(1)①求证:AP=CQ ;
②求证:
(2)当时,求的值.
【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)
【解析】
(1)①证出∠ABP=∠CBQ,由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论;
②根据正方形的性质和全等三角形的性质得到∠DAC=∠BAC,∠APF=∠ABP,即可证得△APF∽△ABP,再根据相似三角形的性质即可求解;
(2)设正方形边长为,根据已知条件可求得PA的长,再根据第(1)②的结论可求得AF的长,从而求得答案.
证明:
(1)①∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=BC,∠ABC=90°,
∵△PBQ为等腰直角三角形,
∴∠PBQ=90°,PB=BQ,
∵∠ABP+∠BPC =∠BPC+∠CBQ=,
∴∠ABP=∠CBQ,
在△ABP与△CBQ中,
,
∴△ABP≌△CBQ,
∴AP=CQ;
②如图,
∵∠CPB=∠3+∠4=∠1+∠2,
∵∠4=∠1=45°,
∴∠3=∠2,
∴∠5=∠2,
∵∠6=∠1=45°,
∴△PFA∽△BPA,
∴,
∴ 即;
(2)设正方形边长为,则,
∵,
∴,
∴PA=,
∵,
∴,
解得:AF=,
∴DF=,
∴.
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【题目】在△ABC中,分别以AB,AC为斜边作Rt△ABD和Rt△ACE,∠ADB=∠AEC=90°,∠ABD=∠ACE=30°,连接DE.若DE=5,则BC长为_____.
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【题目】如图,四边形OABC是平行四边形,以O为圆心,OA为半径的圆交AB于D,延长AO交⊙O于E,连接CD,CE,若CE是⊙O的切线,
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若BC=3,AB=5,求平行四边形OABC的面积.
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【题目】如图,已知AB为⊙O的直径,AD,BD是⊙O的弦,BC是⊙O的切线,切点为B,OC∥AD,BA,CD的延长线相交于点E.
(1)求证:DC是⊙O的切线;
(2)若⊙O半径为4,∠OCE=30°,求△OCE的面积.
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【题目】已知抛物线C1的解析式为y= -x2+bx+c,C1经过A(-2,5)、B(1,2)两点.
(1)求b、c的值;
(2)若一条抛物线与抛物线C1都经过A、B两点,且开口方向相同,称两抛物线是“兄弟抛物线”,请直接写出C1的一条“兄弟抛物线”的解析式.
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【题目】如图,小明在地面A处利用测角仪观测气球C的仰角为37°,然后他沿正对气球方向前进了40m到达地面B处,此时观测气球的仰角为45°.求气球的高度是多少?参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75
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【题目】二次函数y=(m-2)x2+(m+3)x+m+2的图象过点(0,5)
(1)求m的值,并写出二次函数的表达式;
(2)求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴。
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【题目】如图,二次函数的图象与x轴交于A(﹣3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B、D.
(1)请直接写出D点的坐标.
(2)求二次函数的解析式.
(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
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