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【题目】如图,等腰RtBPQ的顶点P在正方形ABCD的对角线AC上(PAC不重合),∠PBQ=90°,QPBC交于E,QP延长线交ADF,连CQ.

(1)①求证:AP=CQ

②求证:

(2)时,求的值.

【答案】(1)①证明见解析;②证明见解析;(2)

【解析】

1)①证出∠ABP=CBQ,由SAS证明△ABP≌△CBQ可得结论;
②根据正方形的性质和全等三角形的性质得到∠DAC=BAC,∠APF=ABP,即可证得△APF∽△ABP,再根据相似三角形的性质即可求解;

(2)设正方形边长为,根据已知条件可求得PA的长,再根据第(1)②的结论可求得AF的长,从而求得答案.

证明:

1)①∵四边形ABCD是正方形,

AB=BC,∠ABC=90°

∵△PBQ为等腰直角三角形,

∴∠PBQ=90°PB=BQ

∵∠ABP+BPC =BPC+CBQ=

∴∠ABP=CBQ

ABPCBQ中,

∴△ABP≌△CBQ

AP=CQ

②如图,

∵∠CPB=3+4=1+2

∵∠4=1=45°

∴∠3=2

∴∠5=2

∵∠6=1=45°

∴△PFA∽△BPA

(2)设正方形边长为,则

PA=

解得:AF=

DF=

.

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