Question

11．如图，四边形ABCD为正方形，H是AD上任意一点，连接CH，过B作BM⊥CH于M，交AC于F，过D作DE∥BM交AC于E，交CH于G，在线段BF上作PF=DG，连接PG，BE，其中PG交AC于N点，K为BE上一点，连接PK，KG，若∠BPK=∠GPK，CG=12，KP：EF=3：5，求$\frac{KG}{EG}$的值为$\frac{\sqrt{505}}{15}$．

Answer 1

分析 连接DF，构建菱形EBFD和平行四边形GPFD，证明KP∥EF，得△BPK∽△BFE，列比例式为$\frac{PK}{EF}=\frac{BP}{BF}$=$\frac{3}{5}$，设BP=3x，BF=5x，则PF=CM=DG=2x，EG=3x，根据BM=12列方程解出x的值，计算EG的长；
设AC与KG交于点O，过K作KP⊥AC于P，过G作GQ⊥AC于Q，则KP∥GQ，根据同角的三角函数求KP、GQ、OP、OQ的长，证明△KIO∽△GQO，根据相似比为2：3分别求OK、OG的长，并相加即可得KG的长，最后计算比值即可．

解答 解：连接DF，
∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，∠BCD=90°，
∴∠BCM+∠MCD=90°，
∵BM⊥CH
∴∠BMC=90°，
∴∠BCM+∠MBC=90°，
∴∠MCD=∠MBC，
∵DE∥BM，
∴∠DGC=∠BMG=90°，
∴∠DGC=∠BMC=90°，
∴△BMC≌△CGD，
∴BM=CG=12，CM=DG，
∵PF=DG，
∴PF=DG=CM，
在△ABE和△ADE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠BAE=∠DAE=45°}\\{AE=AE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴BE=ED，∠AEB=∠AED，
∴∠BEF=∠FED，
∵DE∥BM，
∴∠DEF=∠EFB，
∴∠BEF=∠EFB，
∴BE=BF，
∴BE=BF=ED，
∴四边形EBFD是菱形，
∴∠BFE=∠EFD，
∴GD=PF，GD∥PF，
∴四边形GPFD是平行四边形，
∴GP∥DF，
∴∠BPG=∠BFD，
∵∠BPK=∠KPG，
∴2∠BPK=2∠BFE，
∴∠BPK=∠BFE，
∴PK∥EF，
∴△BPK∽△BFE，
∴$\frac{PK}{EF}=\frac{BP}{BF}$=$\frac{3}{5}$，
设BP=3x，BF=5x，则PF=CM=DG=2x，EG=3x，
∵FM∥DE，
∴△CFM∽△CEG，
∴$\frac{FM}{EG}=\frac{CM}{CG}$，
∴$\frac{FM}{3x}=\frac{2x}{12}$，
∴FM=$\frac{{x}^{2}}{2}$，
∵BM=12，
∴BF+FM=12，
5x+$\frac{{x}^{2}}{2}$=12，
解得：x₁=2，x₂=-12（舍），
∴EG=3x=6；FM=$\frac{{2}^{2}}{2}$=2，CM=2x=4，
∵∠BKP=∠BPK，
∴BK=BP=3x=6，
∵BF=5x=10，
∴EK=10-6=4，
设AC与KG交于点O，过K作KI⊥AC于I，过G作GQ⊥AC于Q，则KI∥GQ，
∵∠BEF=∠DEF，
∴$\frac{EK}{EG}=\frac{OK}{OG}$=$\frac{4}{6}$=$\frac{2}{3}$，
∵∠BEF=∠BFE=∠CFM，
∴tan∠BEF=tan∠CFM=$\frac{CM}{FM}$=$\frac{KI}{EI}$=$\frac{4}{2}$=2，
∵EK=4，
∴KI=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，EI=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
 同理得：GQ=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$，EQ=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴IQ=EQ-EI=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$-$\frac{4\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵KI∥GQ，
∴△KIO∽△GQO，
∴$\frac{OI}{OQ}$=$\frac{OK}{OG}$=$\frac{2}{3}$，
∴$\frac{OI}{IQ}$，
∴OI=$\frac{2}{5}$×IQ=$\frac{2}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{4\sqrt{5}}{25}$，
由勾股定理得：OK=$\sqrt{K{P}^{2}+O{P}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{8\sqrt{5}}{5}）^{2}+（\frac{4\sqrt{5}}{25}）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{505}}{25}$，
∴OG=$\frac{6\sqrt{505}}{25}$，
∴KG=OK+OG=$\frac{2\sqrt{505}}{5}$，
∴$\frac{KG}{EG}$=$\frac{\frac{2\sqrt{505}}{5}}{6}$=$\frac{\sqrt{505}}{15}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{505}}{15}$．

点评 本题考查的是正方形的性质、菱形和平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质，正确作出辅助性、灵活运用相关的性质定理和判定定理是解题的关键．