Question

如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA∥BC，D是BC上一点，BD=

1

4

OA=

2

，AB=3，∠OAB=45°，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持∠DEF=45°．

（1）直接写出D点的坐标；
（2）设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；
（3）将△AEF沿一条边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形能否成为菱形？若能，请直接写出符合条件的x值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）结合已知条件，推出A点的坐标，根据锐角三角函数可以推出B点的坐标，然后求D点的坐标就容易多了，
（2）作辅助线OD，在梯形DOAB中，可以求证OD=AB=3，然后根据已知角的度数，求证△ODE∽△AEF即可得出y与x之间的函数关系，
（3）分情况进行分析，依据菱形的性质，①当EF=AF时，所以△AEF为等腰直角三角形，由△ODE∽△AEF可知，x=DE，根据OD=3，求出DE即可；②当EF=AE时，△AEF为等腰直角三角形，推出DE∥AB，得x=OA-BD，把OA，BD的长度代入即可，③当AE=AF时，△AEF为顶角等于45°的等腰三角形，由△ODE∽△AEF推出△ODE也为顶角等于45°的等腰三角形，求x就容易了

解答：解：（1）D点的坐标是(

3

2

2

，

3

2

2

)（2分）

（2）连接OD，如图，
由结论（1）知：D在∠COA的平分线上，则
∠DOE=∠COD=45°，又在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴OD=AB=3
由三角形外角定理得：∠1=∠DEA-45°，又∠2=∠DEA-∠DEF=∠DEA-45°
∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF（3分）
∴

OE

AF

=

OD

AE

，即：

x

y

=

3

4 2 -x

∴y与x的解析式为：y=-

1

3

x2+

4 2

3

x（6分）

（3）x的值为：

3

2

2

；3

2

；3（6分）（每个2分）

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的定义和性质、根据实际问题列二次函数关系式、菱形的定义和性质等有关知识点，解题的关键是确定A、B、D等点的坐标，以此确定有关线段的长度；求证△ODE和△AEF相似；根据菱形的性质确定相等关系．