Question

（2008•漳州）如图，A、B、C三点在⊙O上，=，∠1=∠2．
（1）判断OA与BC的位置关系，并说明理由；
（2）求证：四边形OABC是菱形；
（3）过A作⊙O的切线交CB的延长线于P，且OA=4，求△APB的周长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据内错角∠2=∠3，可知：OA∥BC；
（2）方法一，方法二，方法三：先证四边形OABC是平行四边形，再根据邻边的长相等，可证四边形OABC是菱形；方法四根据对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形；也可证四边形OABC是菱形；
（3）根据切线的性质可知：OA⊥AP，由OA∥CP可知：∠CPA=90°，故△APB为直角三角形，根据等边△OAB的边长和∠OAB的度数，可求出∠APB的度数和AB的长，故可求出△APB的周长．
解答：（1）解：OA∥BC．
理由：∵OA=OC，
∴∠1=∠3．
∵∠1=∠2，
∴∠2=∠3．
∴OA∥BC．

（2）证明：（方法一）∵=，
∴∠2=∠4．
∵∠2=∠1，
∴∠1=∠4．
∴AB∥OC．
由（1）得∴OA∥BC．
∴四边形OABC是平行四边形．
又∵OA=OC，
∴四边形OABC是菱形．
（方法二）∵=，
∴∠2=∠4．
由（1）得∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
在△AOC与△ABC中，∠1=∠2，AC=AC，∠3=∠4，
∴△AOC≌△ABC．
∴OA=BA，OC=BC．
又∵OA=OC，
∴OA=AB=BC=OC．
∴四边形OABC是菱形．
（方法三）连接OB，
∵=，
∴∠3=∠4，AB=BC．
由（1）得OA∥BC，
∴∠3=∠5．
∴∠4=∠5．
∴BC=OC．
又∵OA=OC，
∴OA=AB=BC=OC．
∴四边形OABC是菱形．
（方法四）连接OB，∵=，
∴∠3=∠4．
又∵OA=OC，
∴OB垂直平分AC．
由（1）得OA∥BC．
∴∠3=∠5．
∴∠4=∠5．
∴BC=OC．
又∵∠1=∠2，
∴AC垂直平分OB．
∴AC与OB互相垂直平分，
∴四边形OABC是菱形．

（3）解：∵AP与⊙O相切，
∴∠OAP=90°．
由（1）得OA∥BC，
∴∠P=90°．
由（2）得OA=AB=4，
又∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠OAB=60°．
∴∠BAP=30°．
在Rt△ABP中，PB=AB=2，AP=AB×cos∠PAB=4cos30°=．
∴△ABP的周长为4+2+=6+．
点评：菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
①定义法；
②四边相等法；
③对角线互相垂直平分．具体选择哪种方法需要根据已知条件来确定．