Question

9．观察下列各式：（x-1）（x+1）=x²-1（x-1）（x²+x+1）=x³-1（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
（1）根据以上规律，（x-1）（x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁹-1；
（2）你能否由此归纳出一个一般性规律：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
（3）根据（2）的规律请你求出：1+2+2²+…+2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁷的值．

Answer 1

分析 （1）归纳总结得到一般性规律，写出所求即可；
（2）归纳总结得到一般性规律，表示出来即可；
（3）原式变形后，利用得出的规律计算即可．

解答 解：（1）（x-1）（x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁹-1；
故答案为：x⁹-1；
（2）你能否由此归纳出一个一般性规律：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
故答案为：xⁿ⁺¹-1；
（3）原式=（2-1）（2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁶+…+2²+2+1）=2²⁰¹⁸-1．

点评 此题考查了平方差公式，以及规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．