Question

4．如图，△ABC是正三角形，∠B和∠C的平分线相交于D，BD，CD的垂直平分线分别交BC于E，F．求证：BE=CF．

Answer 1

分析 分别连接ED、FD，利用垂直平分线的性质可得BE=DE，DF=FC，由条件可证明△DEF为等边三角形，可证明BE=FC．

解答 证明：
连接ED、FD，
∵∠B和∠C的平分线相交于D，BD，CD的垂直平分线分别交BC于E，F，
∴BE=DE，CF=DF，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBD=∠EDB=30°，
∴∠DEC=60°，
同理∠DFB=60°，
∴△DEF为等边三角形，
∴DE=DF，
∴BE=CF．

点评 本题主要考查等边三角形的判定和性质及线段垂直平分线的性质，利用条件证得△DEF为等边三角形是解题的关键．