Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=4，AD=6，∠ABC=60°，求PD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD∥BC，从而得到∠AFB＝∠FBE，再由∠ABF＝∠FBE，推出∠ABF＝∠AFB，于是得到AB＝AF，同理得出AB＝BE，于是得出结论；

（2）由菱形的性质得出AE⊥BF，得到∠ABF＝30°，∠BAP＝∠FAP＝60°从而得出AP＝2，过点P作PM⊥AD于M，得到PM＝，AM＝1，DM＝5，然后利用勾股定理求PD即可．

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AFB=∠FBE．

∵∠ABF=∠FBE，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF，同理AB=BE，∴四边形ABEF是菱形；

（2）∵四边形ABEF是菱形，∴AE⊥BF．

∵∠ABC=60°，∴∠ABF=30°，∠BAP=∠FAP=60°．

∵AB=4，∴AP=2，如图，过点P作PM⊥AD于M，∴PM=，AM=1．

∵AD=6，∴DM=5，∴PD=．