Question

23、探索：（x-1）（x+1）=x²-1、（x-1）（x²+x+1）=x³-1、（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1、（x-1）（x⁴+x³+x²+x+1）=x⁵-1
…
（1）试求2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1的值．
（2）判断2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁷+2²⁰⁰⁶+…+2²+2+1的值的个位数是几？

Answer 1

分析：（1）根据题目中的方法，可将1恒等变形为（2-1），套入方法可得答案．
（2）由（1）易得，2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁷+2²⁰⁰⁶+…+2²+2+1=2²⁰⁰⁹-1，依次分析2的次方的个位数字可得规律，运用规律可得2²⁰⁰⁹的个位数字是2，进而可得答案．

解答：解：（1）2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1，
=1×（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），
=（2-1）（2⁶+2⁵+2⁴+2³+2²+2+1），
=2⁷-1；

（2）由（1）可得，2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁷+2²⁰⁰⁶+…+2²+2+1=2²⁰⁰⁹-1，
分析可得：2的1次方个位是2，2的2次方个位是4，2的3次方个位是8，2的4次方个位是6，
2的5次方个位是2，2的6次方个位是4，2的7次方个位是8，2的8次方个位是6，
…，四个一组，依次循环，故可得2²⁰⁰⁹的个位数字是2，
则2²⁰⁰⁸+2²⁰⁰⁷+2²⁰⁰⁶+…+2²+2+1即2²⁰⁰⁹-1的值的个位数是1．

点评：本题考查发现规律并运用规律解题的能力，有一定难度，但认真观察，细心分析也可以求解．