Question

如图，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，M、N两点分别在BC与AB上，且OM⊥ON．
（1）试说明OM=ON；
（2）试判断CN与DM的关系，并加以证明．

Answer 1

分析：（1）根据正方形性质得出OC=OD=OB，∠OCM=∠OBN=45°，BD⊥AC，求出∠COM=∠BON，证出△ONB≌△OMC即可；
（2）求出OC=OD，∠DOM=∠CON，证△DOM≌△CON，推出CN=DM，∠DMO=∠CNO，求出∠MFE=90°即可．

解答：（1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∵OC=OB，∠OCM=∠OBN=45°，BD⊥AC，
∵OM⊥ON，
∴∠MON=∠COB=90°，
∴∠MON-∠MOB=∠COD-∠MOB，
∴∠COM=∠BON，
∵在△ONB和△OMC中，

∠NOB=∠MOC OB=OC ∠OBN=∠OCM

∴△ONB≌△OMC（ASA），
∴OM=ON．

（2）CN=DM，CN⊥DM，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴OC=OD，BD⊥AC，
∴∠DOC=∠BOC=90°，
∵∠COM=∠BON，
∴∠DOC+∠COM=∠BOC+∠BON，
即∠DOM=∠CON，
∵在△DOM和△CON中

OD=OC ∠DOM=∠CON OM=ON

∴△DOM≌△CON（SAS），
∴CN=DM，∠DMO=∠CNO，
∵∠MON=90°，
∴∠NEO+∠CNO=90°，
∵∠MEC=∠NEO，
∴∠DMO+∠MEC=90°，
∴∠MFE=180°-90°=90°，
∴CN⊥DM．

点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，垂直定义的应用，注意：正方形的对角线平分、相等、垂直且每一条对角线平分一组对角．