Question

【题目】在△ABC中,∠ACB=90°,BD是△ABC的角平分线,P是射线AC上任意一点 (不与A. D. C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，交直线BD于E.

(1)如图①，当点P在线段AC上时，说明∠PDE=∠PED.

(2)作∠CPQ的角平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系?画出图形并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）PF∥BD；理由详见解析；PF⊥BD，理由见解析；

【解析】

（1）由PQ与AB垂直，得到一对直角相等，理由直角三角形的两锐角互余得到两对角互余，再BD为角平分线，利用角平分线定义得到一对角相等，再由对顶角相等，利用等量代换即可得证；

（2）分两种情况，当P在线段AC上时，如图1所示，可得出PF与BD平行，由第一问的结论利用等角对等边得到PD=PE，利用角平分线定义及外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行即可得证；当P在AC延长线时，PF垂直于BD，由PD=PE，利用三线合一即可得证．

(1)∵PQ⊥AB，

∴∠EQB=∠C=90°，

∴∠BEQ+∠EBQ=90°,∠CBD+∠PDE=90°，

∵BD为∠ABC的平分线，

∴∠CBD=∠EBQ，

∵∠PED=∠BEQ，

∴∠PDE=∠PED；

(2)当P在线段AC上时,如图1所示,此时PF∥BD，

理由为：∵∠PDE=∠PED，

∴PD=PE，

∵PF为∠CPQ的平分线，∠CPQ为△PDE的外角，

∴∠CPF=∠QPF=∠PDE=∠PED，

∴PF∥BD；

当P在线段AC延长线上时，如图2所示，PF⊥BD，

理由为：∵∠PDE=∠PED，

∴PD=PE，

∵PM为∠CPQ的平分线，

∴PF⊥BD.