Question

已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，有一个圆心角为45°，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线AB交于点M，N．

(Ⅰ)当扇形CEF绕点C在∠ACB的内部旋转时，如图①，求证：MN²＝AM²＋BN²；

思路点拨：考虑MN²＝AM²＋BN²符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN＝BN，∠MDN＝90°就可以了．

请你完成证明过程：

(Ⅱ)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN²＝AM²＋BN²是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证明：将△沿直线对折，得△，连， 　　则△≌△．　1分 　　有，，，． 　　又由，得．　2分 　　由， 　　 　　， 　　得．　3分 　　又， 　　∴△≌△．　4分 　　有，． 　　∴．　5分 　　∴在Rt△中，由勾股定理， 　　得．即．　6分 　　(Ⅱ)关系式仍然成立．　7分 　　证明：将△沿直线对折，得△，连， 　　则△≌△．　8分 　　有，， 　　，． 　　又由，得． 　　由， 　　． 　　得．　9分 　　又， 　　∴△≌△． 　　有，，， 　　∴． 　　∴在Rt△中，由勾股定理， 　　得．即．　10分