Question

2．如图，点A（3，2）和点M（m，n）都在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象上．
（1）k的值为6；
（2）当m=4，求直线AM的解析式；
（3）当m＞3时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，直线AM交x轴与点Q，试说明四边形ABPQ是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）由k的值确定出反比例解析式，将x=3代入反比例解析式求出y的值，确定出M坐标，设直线AM解析式为y=ax+b，将A与M坐标代入求出a与b的值，即可确定出直线AM解析式；
（3）由MP垂直于x轴，AB垂直于y轴，得到M与P横坐标相同，P与Q纵坐标相同，表示出P与Q坐标于是得到结论．

解答 解：（1）将A（3，2）代入反比例解析式得：k=6；
故答案为：6；

（2）将x=4代入反比例解析式y=$\frac{6}{x}$得：y=$\frac{3}{2}$，即M（4，$\frac{3}{2}$），
设直线AM解析式为y=ax+b，
把A与M代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3a+b=2}\\{4a+b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
解得：a=-$\frac{1}{2}$，b=$\frac{7}{2}$，
∴直线AM解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{7}{2}$；

（3）把M（m，n）代入y=$\frac{6}{x}$得m=$\frac{6}{n}$，
∴M（$\frac{6}{n}$，n）
把M，A点坐标代入y=kx+b得
k=-$\frac{n}{3}$，b=2+n，
∴直线AM解析式为y=-$\frac{n}{3}$x+2+n，
∴Q（$\frac{6}{n+3}$，0），
∵MP⊥x轴，
∴P（$\frac{6}{n}$，0）
∴PQ=OQ-OP=3，
∵AB⊥y轴，
∴AB∥PQ，AB=3，
∴AB=PQ，
∴四边形ABPQ是平行四边形．

点评 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，以及两直线平行与斜率之间的关系，熟练掌握待定系数法是解本题第二问的关键．