Question

16．如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E是DC上一点，将∠D沿折痕AE折叠，使点D落在点D′处，当△AD′B为等腰三角形时，则DE的长为$\frac{5}{2}$或16-$\sqrt{231}$．

Answer 1

分析 ①当AD′=D′B=5时，过点D′作MN⊥AB于点N，根据对称轴的性质以及折叠的特性可找出各边的关系，在直角△EMD′与△AND′中，利用勾股定理可得出关于DM长度的一元二次方程，解方程即可得出结论；②当AB=D′B=8时，过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，设DE=a，则D′E=a．根据折叠的性质得到AD′=AD=5，根据勾股定理得到AN=$\frac{25}{16}$，D′N=$\frac{5\sqrt{231}}{16}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：①当AD′=D′B=5时，过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图1所示．
设DE=a，则D′E=a．
∵将∠D沿折痕AE折叠，使点D落在点D′处，
∴AN=DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=4，AD=AD′=5，
由勾股定理可知：
ND′=$\sqrt{AD{′}^{2}-A{N}^{2}}$=3，
∴MD′=MN-ND′=AD-ND′=2，EM=DM-DE=4-a，
∵ED′²=EM²+MD′²，即a²=（4-a）²+4，
解得：a=$\frac{5}{2}$；
②当AB=D′B=8时，过点D′作MN⊥AB于点N，MN交CD于点M，如图2所示．
设DE=a，则D′E=a．
∵将∠D沿折痕AE折叠，使点D落在点D′处，
∴AD′=AD=5，
∴AD′²-AN²=BD′²-BN²，
即5²-AN²=8²-（8-AN）²，
∴AN=$\frac{25}{16}$，
∴BN=$\frac{103}{16}$，
∴D′N=$\frac{5\sqrt{231}}{16}$，
∵∠MED′+∠ED′M=∠ED′M+∠AD′N=90°，
∴∠MED′=∠AD′N，
∴△EMD′∽△AD′N，
∴$\frac{EM}{D′N}=\frac{ED′}{AD′}$，
即$\frac{\frac{25}{16}-a}{\frac{5\sqrt{231}}{16}}$=$\frac{a}{5}$，
∴a=16-$\sqrt{231}$，
∴当△AD′B为等腰三角形时，则DE的长为$\frac{5}{2}$或16-$\sqrt{231}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$或16-$\sqrt{231}$．

点评 本题考查了翻转变换、轴对称的性质、矩形的性质以及勾股定理，解题的关键是找出关于DM长度的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但在做题过程中容易丢失一种情况，解决该题型题目时，结合勾股定理列出方程是关键．