Question

（2012•娄底）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=8，D在边BC上，E在线段DC上，DE=4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N．
（1）求证：△BMD∽△CNE；
（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？
（3）设BD=x，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；
（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案；
（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△CNE的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C=30°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=∠FED=60°，
∴∠MDB=∠NEC=120°，
∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，
∴△BMD∽△CNE；

（2）解：过点M作MH⊥BC，
∵以M为圆心，以MH为半径的圆，则与BC相切，
∴MH=MF，
设BD=x，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
∵∠B=30°，
∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B，
∴DM=BD=x，
∴MH=MF=DF-MD=4-x，
在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°=

MH

MD

=

4-x

x

=

3

2

，
解得：x=16-8

3

，
∴当BD=16-8

3

时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；

（3）解：过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，
∵AB=AC，
∴BK=

1

2

BC=

1

2

×8=4，
∵∠B=30°，
∴AK=BK•tan∠B=4×

3

3

=

4 3

3

，
∴S_△ABC=

1

2

BC•AK=

1

2

×8×

4 3

3

=

16 3

3

，
由（2）得：MD=BD=x，
∴MH=MD•sin∠MDH=

3

2

x，
∴S_△BDM=

1

2

•x•

3

2

x=

3

4

x²，
∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，
∴EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，
∵△BMD∽△CNE，
∴S_△BDM：S_△CEN=（

BD

CE

）²=

x2

(4-x)2

，
∴S_△CEN=

3

4

（4-x）²，
∴y=S_△ABC-S_△CEN-S_△BDM=

16 3

3

-

3

4

x²-

3

4

（4-x）²=-

3

2

x²+2

3

x+

4 3

3

=-

3

2

（x-2）²+

10 3

3

（

4

3

＜x＜

8

3

），
当x=2时，y有最大值，最大值为

10 3

3

．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意数形结合思想与方程思想的应用．