我们规定:线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角．如图1.对于线段AB及线段AB外一点C.我们称∠ACB为点C对线段AB的视角．如图2.在平面直角坐标系xOy中.已知点D．(1)⊙P为过D.E两点的圆.F为⊙P上异于点D.E的一点．①如果DE为⊙P的直径.那么点F对线段DE的视角∠DFE为90度,②如果点F对线段DE的视角∠DFE为60度,那么⊙P� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．我们规定：线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点对这条线段的视角．如图1，对于线段AB及线段AB外一点C，我们称∠ACB为点C对线段AB的视角．如图2，在平面直角坐标系xOy中，已知点D（0，4），E（0，1）．
（1）⊙P为过D，E两点的圆，F为⊙P上异于点D，E的一点．
①如果DE为⊙P的直径，那么点F对线段DE的视角∠DFE为90度；
②如果点F对线段DE的视角∠DFE为60度；那么⊙P的半径为$\sqrt{3}$；
（2）点G为x轴正半轴上的一个动点，当点G对线段DE的视角∠DGE最大时，求点G的坐标．

分析（1）①利用直径所对的圆周角是直角直接写出答案即可；
②作PM⊥y轴于点M，构造直角三角形，根据视角的度数借助含30°的直角三角形的性质即可求出半径．
（2）根据题意得到⊙P与x轴相切，G为切点时，∠DGE最大；首先根据点P在线段ED的垂直平分线上，得到PG=2.5，然后过点P作PH⊥DE于点H，得到EH=$\frac{1}{2}$DE=1.5，从而连接PE，在Rt△PEH中，PE=PG=2.5，EH=1.5，求得点G的坐标即可

解答解：（1）①如图1，当DE为⊙P的直径时，视角为90°；
②如图2，作PM⊥y轴于点M，∴DM=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{3}{2}$
∵点F对线段DE的视角∠DFE为60度，
∴∠DFE=60°，
∴∠DPE=120°，
∵PD=PE，
∴∠PDE=∠PED=30°，
在Rt△PMD中，∠PDM=30°，DM=$\frac{3}{2}$，
∴PD=$\sqrt{3}$，
故答案为：90；$\sqrt{3}$．

（2）如图3，当⊙P与x轴相切，G为切点时，∠DGE最大，
由题意知，点P在线段ED的垂直平分线上，
∴PG=2.5，
过点P作PH⊥DE于点H，
∴EH=$\frac{1}{2}$DE=1.5，
∵PG⊥x轴，
∴四边形PHOG为矩形．
连接PE，在Rt△PEH中，PE=PG=2.5，EH=1.5，
∴PH=2．
所以点G（2，0）．

点评此题是圆的综合题，主要考查了圆的综合知识，将几何图形与圆有机的结合起来是中考的热点考题之一，难度中等偏上，解题的关键是能够将点的坐标与圆内有关线段的长联系起来．

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