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精英家教网如图,已知AC切⊙O于C点,CP为⊙O的直径,AB切⊙O于D与CP的延长线交于B点,若AC=PC.
求证:(1)BD=2BP;(2)PC=3BP.
分析:(1)连接OD,由于AB、AC都是切线,那么有∠BD=∠ACB=90°,而∠B=∠B,所以△BDO∽△BCA,再利用相似比,结合AC=PC=2OD,可得BD=
1
2
BC①,而BD2=BP•BC②,②÷①即可求;
(2)由于BC=BP+PC,BD=2BP,BD2=BP•BC,所以有4BP2=BP(BP+PC),等式左右同除以BP,化简后即可求证.
解答:精英家教网证明:(1)连接OD,
∵D、C是切点,PC是直径,OD是半径,
∴∠BDO=∠ACB=90°,
又∠B=∠B,
∴△BDO∽△BCA,(1分)
BD
BC
=
OD
AC

∵AC=PC=2OD,
∴BD=
1
2
BC.①(2分)
又BD2=BP•BC,②(3分)
②÷①,得BD=2BP.(4分)

(2)由BD2=BP•BC,
又∵BC=BP+PC,BD=2BP,
∴4BP2=BP(BP+PC),(5分)
∴4BP=BP+PC,
∴PC=3BP.(6分)
点评:本题利用了相似三角形的判定和性质、等式的性质、切割线定理等知识.
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精英家教网如图,已知AC切⊙O于A,AB为直径,C为⊙O外一点,BC交⊙O于点D,AC=6,BD=5,连接AD.
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如图,已知AC切⊙O于C点,CP为⊙O的直径,AB切⊙O于D与CP的延长线交于B点,若AC=PC.
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(1999•天津)如图,已知AC切⊙O于C点,CP为⊙O的直径,AB切⊙O于D与CP的延长线交于B点,若AC=PC.
求证:(1)BD=2BP;(2)PC=3BP.

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