Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD于D．

（1）求证：直线CD是⊙O的切线；

（2）若AB=10，sin∠ACD=，求CD的长．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)4.

【解析】

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质及角平分线的定义易证∠OCA=∠CAD，即可得OC∥AD，由AD⊥CD，可得OC⊥CD，即可证得直线CD是⊙O的切线；（2）连接BC，根据直径所对的圆周角为直角可得∠ACB=90°，即可证得∠B=∠ACD；在Rt△ABC中求得AC的长， 在Rt△ACD中求得AD的长；在Rt△ACD中，根据勾股定理求得CD的长即可．

（1）证明：连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分∠OAD，

∴∠OAC=∠CAD，

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC∥AD，

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O的半径，

∴直线CD是⊙O的切线；

（2）连接BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠B+∠OAC=90°，

∵∠OAC=∠CAD，∠ACD+∠CAD=90°，

∴∠B=∠ACD，

在Rt△ABC中， =sinB=sin∠ACD=，

∴AC=2，

∴在Rt△ACD中，sin∠ACD==，

∴AD=2，

∴在Rt△ACD中，CD==4．