Question

【题目】如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2），直线x＝m（m＞2）与x轴交于点D．

（1）求二次函数的解析式；

（2）在直线x＝m（m＞2）上有一点E（点E在第四象限），使得E、D、B为顶点的三角形与以A、O、C为顶点的三角形相似，求E点坐标（用含m的代数式表示）；

（3）在（2）成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

试题

（1）已知抛物线经过三个点，则可设抛物线的解析式为一般式，再将三个点的坐标代入到一般式中，得到三元一次方程组即可求解；

（2）△AOC与△BDE都是直角三角形，除直角外，其它的对应关系不确定，所以应分两类讨论，由相似三角形的对应边成比例求出E点的坐标；

（3）A，B是两个确定的点，E点的坐标中含有m也可看作是确定的点，则可根据三个点的坐标，确定第四个点F的坐标，而点F在抛物线上，把F点的坐标代入到抛物线中得到关于m的方程，则可求出点F的坐标.

解：（1）将点A（1，0），B（2，0），C（0，﹣2）代入二次函数y=ax2+bx+c中，得

解得a=﹣1，b=3，c=﹣2．

∴y=﹣x2+3x﹣2．（2分）

（2）∵AO=1，CO=2，BD=m﹣2，

当△EDB∽△AOC时，得=，

即=，解得ED=，

∵点E在第四象限，

∴E1（m，），

当△BDE∽△AOC时， =时，即=，

解得ED=2m﹣4，

∵点E在第四象限，

∴E2（m，4﹣2m）；

所以有E1（m，），E2（m，4﹣2m）.

（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形，则

EF=AB=1，点F的横坐标为m﹣1，

当点E1的坐标为（m，）时，点F1的坐标为（m﹣1，），

∵点F1在抛物线的图象上，

∴=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴2m2﹣11m+14=0，

∴（2m﹣7）（m﹣2）=0，

∴m=，m=2（舍去），

∴F1（，﹣），

当点E2的坐标为（m，4﹣2m）时，点F2的坐标为（m﹣1，4﹣2m），

∵点F2在抛物线的图象上，

∴4﹣2m=﹣（m﹣1）2+3（m﹣1）﹣2，

∴m2﹣7m+10=0，

∴（m﹣2）（m﹣5）=0，∴m=2（舍去），m=5，

∴F2（4，﹣6）．

所以F1（，﹣），F2（4，﹣6）．