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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图1，已知直线EA与x轴、y轴分别交于点E和点A（0，2），过直线EA上的两点F、G分别作x轴的垂线段，垂足分别为M（m，0）和N（n，0），其中m＜0，n＞0．
    （1）如果m=-4，n=1，试判断△AMN的形状；
    （2）如果mn=-4，（1）中有关△AMN的形状的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
    （3）如图2，题目中的条件不变，如果mn=-4，并且ON=4，求经过M、A、N三点的抛物线所对应的函数关系式；
    （4）在（3）的条件下，如果抛物线的对称轴l与线段AN交于点P，点Q是对称轴上一动点，以点P、Q、N为顶点的三角形和以点M、A、N为顶点的三角形相似，求符合条件的点Q的坐标．
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    分析：（1）根据勾股定理可以求出AM．AN，MN的长度，根据勾股定理的逆定理就可以求出三角形是直角三角形．
    （2）AM．AN，MN的长度可以用m，n表示出来，根据m，n的关系就可以证明．
    （3）M、A、N的坐标已知，根据待定系数法局可以求出二次函数的解析式．
    （4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，易证Rt△PNQ1∽Rt△ANM且Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似，根据相似三角形的对应边的比相等，得到
    Q1Q2
    AN
    =
    Q1N
    AM
    就可以求出Q1Q2得到符合条件的点的坐标．
    解答：解：（1）△AMN是直角三角形．
    依题意得OA=2，OM=4，ON=1，
    ∴MN=OM+ON=4+1=5
    在Rt△AOM中，AM=
    		OA2+OM2
    =
    		22+42
    =2
    		5

    在Rt△AON中，AN=
    		OA2+ON2
    =
    		22+12
    =
    		5

    ∴MN2=AM2+AN2
    ∴△AMN是直角三角形（解法不惟一）．（2分）

    （2）答：（1）中的结论还成立．
    依题意得OA=2，OM=-m，ON=n
    ∴MN=OM+ON=n-m
    ∴MN2=（n-m）2=n2-2mn+m2
    ∵mn=-4
    ∴MN2=n2-2×（-4）+m2=n2+m2+8
    又∵在Rt△AOM中，AM=
    		OA2+OM2
    =
    		22+(-m)2
    =
    		4+m2

    在Rt△AON中，AN=
    		OA2+ON2
    =
    		22+n2
    =
    		4+n2

    ∴AM2+AN2=4+m2+4+n2=n2+m2+8
    ∴MN2=AM2+AN2
    ∴△AMN是直角三角形．（解法不惟一）（2分）

    （3）∵mn=-4，n=4，
    ∴m=-1．
    方法一：设抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c．
    ∵抛物线经过点M（-1，0）、N（4，0）和A（0，2）
    ∴
    a-b+c=0
    42a+4b+c=0
    c=2
    ．
    ∴
    a=-
    1
    2
    b=
    3
    2
    c=2
    ．
    ∴所求抛物线的函数关系式为y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2．
    方法二：设抛物线的函数关系式为y=a（x+1）（x-4）．
    ∵抛物线经过点A（0，2）
    ∴-4a=2解得a=-
    1
    2

    ∴所求抛物线的函数关系式为y=-
    1
    2
    （x+1）（x-4）
    即y=-
    1
    2
    x2+
    3
    2
    x+2．（2分）

    （4）抛物线的对称轴与x轴的交点Q1符合条件，
    ∵l⊥MN，∠ANM=∠PNQ1，
    ∴Rt△PNQ1∽Rt△ANM
    ∵抛物线的对称轴为直线x=
    3
    2
    ，
    ∴Q1（
    3
    2
    ，0）（2分）
    ∴NQ1=4-
    3
    2
    =
    5
    2
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    过点N作NQ2⊥AN，交抛物线的对称轴于点Q2．
    ∴Rt△PQ2N、Rt△NQ2Q1、Rt△PNQ1和Rt△ANM两两相似
    ∴
    Q1Q2
    AN
    =
    Q1N
    AM

    即Q1Q2=
    Q1N
    AM
    •AN=
    5
    2
    		5
    •
    		22+42
    =5
    ∵点Q2位于第四象限，
    ∴Q2（
    3
    2
    ，-5）（2分）
    因此，符合条件的点有两个，
    分别是Q1（
    3
    2
    ，0），Q2（
    3
    2
    ，-5）．
    （解法不惟一）
    点评：本题主要考查了勾股定理的逆定理，待定系数法求函数的解析式．以及相似三角形的性质，对应边的比相等．
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