Question

如图，AB是圆O的直径，AB=10，点C是圆O上一动点（与A，B不重合），∠ACB的平分线交圆O于D．
（1）判断△ABD的形状，并证明你的结论；
（2）若I是△ABC的内心，当点C运动时，CI、DI中是否存在长度保持不变的线段？如果存在，请指出并求其长度；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）△ABD是等腰直角三角形．理由如下：
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD平分∠ACB，
∴=，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形；

（2）DI的长度不变，且DI=
在Rt△ABD中，
∵AD=BD，AB=10，
∴BD=，
连接OI，
∵I是△ABC的内心，
∴∠4=∠5，
∵由（1）可知=，
∴∠1=∠2，
∵∠3是△BCI的外角，
∴∠3=∠1+∠4=∠2+∠5，
∴DI=BD是定值，即DI=BD=．
分析：（1）先根据圆周角定理得出∠ADB=90°，根据CD平分∠ACB可知=，所以AD=BD，故可得出结论；
（2）先根据勾股定理求出BD的长，连接OI，则∠4=∠5，由（1）可知=，所以∠1=∠2，再由三角形外角的性质可知∠3=∠1+∠4=∠2+∠5，故可得出DI=BD是定值．
点评：本题考查的是圆周角定理、等腰直角三角形、圆心角、弧、弦的关系等知识，根据题意作出辅助线，构造出等腰三角形是解答此题的关键．