Question

已知二次函数图象的顶点坐标为M（2，0），直线y=x+2与该二次函数的图象交于A、B两点，其中点A在y轴上（如图示）
（1）求该二次函数的解析式；
（2）P为线段AB上一动点（A、B两端点除外），过P作x轴的垂线与二次函数的图象交于点Q，设线段PQ的长为l，点P的横坐标为x，求出l与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在一点P，使四边形PQMA为梯形？若存在，求出点P的坐标，并求出梯形的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）依题意，设二次函数的解析式为y=a（x-2）²，
由于直线y=x+2与y轴交于（0，2），
∴x=0，y=2
满足y=a（x-2）²，于是求得a=

1

2

，
二次函数的解析式为y=

1

2

（x-2）²；

（2）设P点坐标为：P（x，y），则Q点坐标为（x，

1

2

x²-2x+2）
依题意得，PQ=l=（x+2）-

1

2

（x-2）²=-

1

2

x2+3x，
由

y=x+2 y= 1 2 (x-2)2

，
求得点B的坐标为（6，8），
∴0＜x＜6；

（3）由（2）知P的横坐标为0＜x＜6时，必有对应的点Q在抛物线上；
反之，Q的横坐标为0＜x＜6时，在线段AB上必有一点P与之对应．
假设存在符合条件的点P，由题意得AM与PQ不会平行，
因此梯形的两底只能是AP与MQ，
∵过点M（2，0）且平行AB的直线方程为y=x-2，
由

y=x-2 y= 1 2 (x-2)2

，
消去y得：x²-6x+8=0，即（x-2）（x-4）=0，
解得x=2或x=4，
∵当x=2时，P点、Q点、M点 三点共线，与A点只能构成三角形，而不能构成梯形；
∴x=2这个解舍去．
∴过M点的直线与抛物线的另一交点为（4，2），
∵此交点横坐标4，落在0＜x＜6范围内，
∴Q的坐标为（4，2）时，P（4，6）符合条件，
即存在符合条件的点P，其坐标为（4，6），
设直线AB与x轴交于N，由条件可知，△ANM是等腰直角三角形，即AM=AN=2

2

，
AP=PN-AN=6

2

-2

2

=4

2

，MQ=2

2

，
AM为梯形PQMA的高，
故S_梯形PQMA=

1

2

（2

2

+4

2

）•2

2

=12．