Question

18．如图，线段AB=16，以AB为直径的半圆上有一点C，连接BC并延长到点D，使DC=2BC，连接OD、AC交于点E，当∠B=2∠D时，线段OE的长为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．

Answer 1

分析 连接BE后，由于OC=OB，∠B=2∠D，所以OC=CD=8，过点O作OF⊥AC于F，由△OFE∽△DCE可知$\frac{EF}{FC}=\frac{1}{5}$，利用垂径定理和勾股定理即可求出OE的长度．

解答 解：连接BE，过点O作OF⊥AC于点F，
∵OC=OB，
∴∠B=∠OCB，
∵∠B=2∠D，
∴∠OCB=2∠D，
∵∠OCB=∠D+∠DOC，
∴∠DOC=∠D，
∴∠DOC=∠D，
∴DC=OC=$\frac{1}{2}$AB=8，
∴BC=$\frac{1}{2}$DC=4，
由勾股定理可知，
AC=4$\sqrt{15}$，
由垂径定理可知：OF=$\frac{1}{2}$BC=2，FC=$\frac{1}{2}$AC=2$\sqrt{15}$，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴OF∥CD，
∴△OFE∽△DCE，
∴$\frac{OF}{DC}$=$\frac{EF}{CE}$=$\frac{1}{4}$，
∴EF=$\frac{1}{5}$FC=$\frac{2}{5}$$\sqrt{15}$，
由勾股定理可求得：OE=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，
故答案为$\frac{4\sqrt{10}}{5}$

点评 本题考查圆的有关性质，涉及圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理和垂径定理，综合程度较高，需要学生综合运用所学知识解答．