Question

1．已知：如图，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC，交AB，AC于点E，F．
（1）若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC的度数；
（2）若∠BEF+∠CFE=a，求∠BOC的度数．（用含a的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线以及平行线的性质，求得∠EOB与∠FOC，再根据∠EOF=180°求得∠BOC的度数；
（2）先根据角平分线以及平行线的性质，得出∠EOB=∠EBO，∠FOC=∠FCO，再求得∠EOB与∠FOC，再根据∠EOF=180°求得∠BOC的度数．

解答 （1）解：∵BO平分∠ABC
∴∠OBC=$\frac{1}{2}$∠ABC 
∵∠ABC=50°
∴∠OBC=25°
∵EF∥BC
∴∠EOB=∠OBC=25°
∵CO平分∠ACB
∴∠OCB=$\frac{1}{2}$∠ACB
∵∠ACB=60°
∴∠OCB=30° 
∵EF∥BC
∴∠FOC=∠OCB=30°
∵EF是一条直线
∴∠EOF=180°
∴∠BOC=125°

（2）∵OB平分∠ABC
∴∠ABO=∠CBO
∵EF∥BC
∴∠EOB=∠OBC
∴∠EOB=∠EBO
同理可得，∠FOC=∠FCO
∴∠EOB=$\frac{180°-∠BEO}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠BEO
∠FOC=$\frac{180°-∠OFC}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠CFO
又∵∠EOF=180°
∴∠BOC=180°-∠EOB-∠FOC=$\frac{1}{2}$（∠BEO+∠CFO）=$\frac{1}{2}a$

点评 本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义，解决问题的关键是判定△BOE与△COF是等腰三角形．