Question

2．如图，AB是半⊙O的直径，点D是圆弧AE上一点，且∠BDE=∠CBE，点C在AE的延长线上
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若BD平分∠ABE，延长ED、BA交于点G，若GA=AO，DE=5，求GD的长．

Answer 1

分析 （1）先证明∠EAB+∠ABE=90°，然后再证明∠CBE=∠EAB，从而可证明∠CBA=90°；
（2）连结OD．先证明OD∥BE，从而得到△GOD∽△GBE，依据相似三角形的性质可得到$\frac{GD}{GE}$=$\frac{OG}{GB}$=$\frac{2}{3}$，即$\frac{DG}{DG+5}$=$\frac{2}{3}$，然后解得DG的长即可．

解答 解：（1）证明：∵AB是半⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴∠EAB+∠ABE=90°．
∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，
∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°．
∴AB⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．

（2）连结OD．

∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠EBD=∠ABD，
∴∠EBD=∠BDO．
∴OD∥BE．
∴△GOD∽△GBE．
∴$\frac{GD}{GE}$=$\frac{OG}{GB}$．
∵GA=AO，
∴GA=AO=BO，
∴$\frac{GD}{CE}$=$\frac{GO}{GB}$=$\frac{2}{3}$即$\frac{DG}{GD+5}$=$\frac{2}{3}$．
∴GD=10．

点评 本题主要考查的是切线的判定、相似三角形的性质和判定、平行线的判定，证得OD∥BE是解题的关键．