Question

已知：抛物线y=ax²+4ax+3与x轴的交点为A、B，其中点A在点B的右侧．点D是抛物线与y轴的交点，点C是抛物线上的一点，且四边形ABCD以AB为一底的梯形，若此梯形ABCD的面积为9．
（1）求点D、A、B的坐标；并求此抛物线的解析式．
（2）点E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为5：2的点，如果点E在 （1）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△APE的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）本题需先分a＞0和a＜0两种情况进行讨论，先求出抛物线的对称轴以及与y轴的交点坐标，然后求出C点的坐标，再根据梯形的面积求出AB的长，即可得出A、B的坐标及抛物线的解析式．
（2）本题需先设出E点的坐标，再代入抛物线的解析式即可求出点E的坐标，然后得出点E关于抛物线的对称轴对称的点E′的坐标，最后求出直线AE′的解析式从而得出抛物线的对称轴与直线的交点坐标，即是点P的坐标．

解答：解：（1）∵y=ax²+4ax+3的对称轴为x=-2，与y轴的交点坐标D点（0，3），
∴点C的坐标为（-4，3）
∴CD=8，梯形的高为3
∵S_梯形ABCD=9
∴

(CD+AB)3

2

=9
∴

(4+AB)×3

2

=9
∴AB=2
∴A的坐标为（-1，0）
∴B的坐标为（-3，0）
把A（-1，0）代入y=ax²+4ax+3得；
∴y=x²+4x+3．

（2）当点E在抛物线y=x²+4x+3时
设E点的横坐标为-2m，则E的纵坐标为5m
把（-2m，5m）代入抛物线得：5m=（-2m）²+4×（-2m）+3
解得；m₁=3，m₂=

1

4

∴E的坐标为（-6，15）（舍去）或（-

1

2

，

5

4

）
∴点E关于x=-2对称的点E′的坐标为（-

7

2

，

5

4

）
∴直线AE′的解析式为y=-

1

2

x-

1

2

∴P的坐标为（-2，

1

2

）

点评：本题主要考查了二次函数的综合应用，在解题时要注意运用数形结合的思想把二次函数的图象和性质与其它知识相结合 是本题的关键．