Question

已知关于x的一元二次方程x²+（6-2m）x=-m²+4m-3有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）设方程的两实根分别为x₁与x₂，是否存在实数m，使得2x₁²+2x₂²-3x₁•x₂有最小值？若存在，求出m的值和这个最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系,二次函数的最值

专题：

分析：（1）先把方程化为一般式得到x²+（6-2m）x+m²-4m+3=0，再根据判别式的意义得到△=（6-2m）²-4（m²-4m+3）≥0，然后解不等式得到m≤3；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=2m-6，x₁•x₂=m²-4m+3，再变形2x₁²+2x₂²-3x₁•x₂得到2（x₁+x₂）²-7x₁•x₂，则原式=2（2m-6）²-7（m²-4m+3）
=m²-20m+51，然后配方得到原式=（m-10）²-49，最后根据二次函数的最最值问题求解．

解答：解：（1）x²+（6-2m）x+m²-4m+3=0，
根据题意得△=（6-2m）²-4（m²-4m+3）≥0，
解得m≤3；
（2）根据题意得为x₁+x₂=2m-6，x₁•x₂=m²-4m+3，
所以2x₁²+2x₂²-3x₁•x₂=2（x₁+x₂）²-7x₁•x₂
=2（2m-6）²-7（m²-4m+3）
=m²-20m+51
=（m-10）²-49，
∵m≤3，
∴当m=3时，2x₁²+2x₂²-3x₁•x₂有最小值，最小值为0．

点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系和二次函数的最值问题．