Question

【题目】如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴，y轴于A，B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）

（1）求抛物线的解析式：

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点M，使△ABM周长最短？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x﹣3（2）存在点M使△ABM周长最短，其坐标为（﹣1，﹣2）

【解析】

（1）由直线解析式可求得A、B两点的坐标，根据待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）连接BC交对称轴于点M，由题意可知A、C关于对称轴对称，则可知MA=MC，故当B、M、C三点在同一条直线上时MA+MB最小，则△ABM的周长最小，由B、C坐标可求得直线BC的解析式，则可求得M点的坐标．

(1)在y=3x3中，令y=0求得x=1，令x=0可得y=3，

∴A(1,0),B(0,3)，

把A.B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：

解得

∴抛物线解析式为

(2)∵

∴抛物线的对称轴为x=1，

∵A、C关于对称轴对称,且A(1,0)，

∴MA=MC,C(3,0)，

∴MB+MA=MB+MC，

∴当B.M、C三点在同一条直线上时MB+MC最小，此时△ABM的周长最小，

∴连接BC交对称轴于点M，则M即为满足条件的点，

设直线BC的解析式为y=kx+m，

∵直线BC过点B(0,3),C(3,0)，

∴

解得：

∴直线BC的解析式y=x3，

当x=1时，y=2，

∴M(1,2)，

∴存在点M使△ABM周长最短,其坐标为(1,2).