Question

8．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿EF对折，使得点C与点A重合，则EF长为$\frac{15}{2}$cm．

Answer 1

分析 连接AC、CF，利用折叠的性质证明四边形AECF为菱形，设AE=EC=x，在Rt△ABC中，由勾股定理求AC，在Rt△ABE中，由勾股定理求x，利用菱形计算面积的两种方法，建立等式求EF即可．

解答 解：如图所示，连接AC、CF，
由折叠可知，EF⊥AC，
又∵AF∥CE，
∴∠FAO=∠ECO，
在△AOF与△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAO=∠ECO}\\{∠AOF=∠COE=90°}\\{FO=EO}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，
又∵EF垂直平分AC，
∴AE=AF，
∴四边形AECF为菱形，（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）
设AE=EC=xcm，则BE=（8-x）cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=10cm，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB²+BE²=AE²，
即6²+（8-x）²=x²，
解得x=$\frac{25}{4}$，
根据菱形计算面积的公式，得
EC×BA=$\frac{1}{2}$×EF×AC，
即$\frac{25}{4}$×6=$\frac{1}{2}$×EF×10，
解得EF=$\frac{15}{2}$cm．
故答案为：$\frac{15}{2}$．

点评 本题考查了图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，也考查了勾股定理在折叠问题中的运用．