Question

用网格线将平面分成若干个面积为1的小等边三角形格子，小等边三角形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形.设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为.

（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式.

多边形的序号	①	②	③	④	…
多边形的面积S	3	4	5	6	…
各边上格点的个数和	3	4	5	6	…

答：S=              .
（2）请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部都有而且只有2格点.此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式是：S=          .
（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？答：S=                  .

Answer 1

（1）x；（2）x+2；（3）.

试题分析（1）多边形的面积=各边上格点个数半，即S=x；（2）内部有2个格点就是指图形的中间有2个小正三角形的顶点，由此画图；并根据图找出S与x的关系；（3）由图可知多边形内部都有而且只有n格点时，面积为：．
试题解析：（1）图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，根据以上信息，多边形的面积=各边上格点个数，即S=x.
（2）根据图可知：

正方形的面积是8，它的各边上格点的个数和x是6，中间格点数是2，8=6+2；
三角形的面积是5，它的各边上格点的个数和x是3，中间格点数是2， 5=3+2；
五边形的面积是7，它的各边上格点的个数和x是5，中间格点数是2， 7=5+2.
那么S=x+2.
（3）通过上题探究可知：最后的1就是内部的格点数而得，所以格点多边形面积=各边上格点的个数和×+（多边形内部格点数的2倍-2）；即：.