Question

19．如图，抛物线l与坐标轴的交点为A（-1，0），B（4，0），C（0，2），四边形DEFG是正方形，且点D，E在x轴上，点F，G在抛物线上，则正方形DEFG的面积为57±8$\sqrt{41}$．

Answer 1

分析 根据已知条件得到抛物线l的对称轴为x=$\frac{-1+4}{2}$=$\frac{3}{2}$，设G（a，b），则F（a+b，b）于是得到b=3-2a，求得（a，3-2a），根据已知条件得到抛物线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），把G（a，3-2a）代入y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）得到a=$\frac{7±\sqrt{41}}{2}$，根据正方形的面积公式即可得到结论．

解答 解：抛物线l的对称轴为x=$\frac{-1+4}{2}$=$\frac{3}{2}$，
设G（a，b），则F（a+b，b），∵$\frac{3}{2}$=$\frac{a+a+b}{2}$，∴b=3-2a，∴a+b=3-a
∴G（a，3-2a），
设抛物线l的解析式为y=m（x+1）（x-4），把C（0，2）代入上式的得，2=m（0+1）（0-4），
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线l的解析式为y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4），
把G（a，3-2a）代入y=-$\frac{1}{2}$（x+1）（x-4）得a=$\frac{7±\sqrt{41}}{2}$，
∴b=-4±$\sqrt{41}$，
∴正方形DEFG的面积为b²=57±8$\sqrt{41}$．
故答案为：57±8$\sqrt{41}$．

点评 本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、正方形的面积的计算、涉及考点众多，难度较大．