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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=-x2+bx+cx轴交于AD两点,与y轴交于点B,四边形OBCD是矩形,点A的坐标为(10),点D的坐标为(-30),点B的坐标为(04),已知点E(m0)是线段DO上的动点,过点EPEx轴交抛物线于点P,交BC于点G,交BD于点H

(1)求该抛物线的解析式;

(2)当点P在直线BC上方时,请用含m的代数式表示PG的长度;

(3)(2)的条件下,是否存在这样的点P,使得以PBG为顶点的三角形与DEH相似?若存在,求出此时m的值;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)解析式为

(2)PG=-m2m;

(3)m的值为-1或

【解析】试题分析:1)将A10),B04)代入y=-x2+bx+c,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

2)由Em0),B04),得出Pm-m2-m+4),Gm4),则PG=-m2-m+4-4=-m2-m,点P在直线BC上方时,故需要求出m的取值范围;

3)先由抛物线的解析式求出D-30),则当点P在直线BC上方时,-2<m<0.再运用待定系数法求出直线BD的解析式为y=x+4,于是得出Hm m+4).当以PBG为顶点的三角形与△DEH相似时,由于∠PGB=DEH=90°,所以分两种情况进行讨论:①△BGP∽△DEH②△PGB∽△DEH.都可以根据相似三角形对应边成比例列出比例关系式,进而求出m的值.

试题解析:

(1)解析式为

(2)E(m0)B(04)PEx轴交抛物线于点P,交BC于点G

P(m,- m2m+4)G(m4)

PG=m2m+44=m2m

(3)(2)的条件下,存在点P,使得以PBG为顶点的三角形与△DEH相似.

当点P在直线BC上方时,-3m0

设直线BD的解析式为y=kx+4

D(30)代入,得-3k+4=0,解得k=.

∴直线BD的解析式为y=x+4.H(m m+4)

分两种情况:

①如果△BGP∽△DEH,那么,即

由-3m0,解得m=1.

②如果△PGB∽△DEH,那么,即 ,

由-3m0,解得m=

综上所述,在(2)的条件下,存在点P,使得以PBG为顶点的三角形与△DEH相似,此时m的值为-1

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