Question

6．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△PAB的周长；
（2）问t为何值时，△PBC构成等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

Answer 1

分析 （1）利用勾股定理求出PB即可解决问题．
（2）①P在AC上，易知PC=BC，t=6s，②P在AB上时，分三种情形分类讨论即可解决问题．
（3）当P点在AC上，Q在AB上时：AP=8-t，AQ=16-2t，因为直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，可得8-t+16-2t=12，t=4；当P点在AB上，Q在AC上时：AP=t-8，AQ=2t-16，因为直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，推出t-8+2t-16=12，解方程即可．

解答 解：（1）如图1中，

∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，
根据勾股定理，可得AC=8cm．
出发2s后，点P在线段AC上，且CP=2cm，
∴BP=$\sqrt{{2}^{2}+{6}^{2}}$=2$\sqrt{10}$cm，AP=6cm．
∴△PAB周长为（16+2$\sqrt{10}$）cm．

（2）P在AC上时：
当t=6s时  PC=BC
P在AB上时：
当CB=PC时，如图作CH⊥AB于H，

由△BCH∽△BAC，可得BH=$\frac{C{B}^{2}}{BA}$=$\frac{18}{5}$，
∴PH=HB=$\frac{18}{5}$，
∴PA=AB-PB=$\frac{14}{5}$，
∴t=8+$\frac{14}{5}$=10.8s
当BC=PB时，t=8+4=12s．
当PB=PC时，易知AP=PB=5，t=13s，．
∴当t=6s，10.8s，12s和13s  时，△PBC构成等腰三角形．

（3）当P点在AC上，Q在AB上时：
AP=8-t，AQ=16-2t，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴8-t+16-2t=12，
∴t=4；                          
当P点在AB上，Q在AC上时：
AP=t-8，AQ=2t-16，
∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t-8+2t-16=12，
∴t=12．
∴当t为4 s或12s时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

点评 本题考查三角形综合题、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程，把问题转化为方程解决，属于中考压轴题．