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(1999•青岛)已知:如图,AB、CD是⊙O的两条互相垂直的弦,E为垂足,P是CD延长线上的一点,PA交⊙O于F,GF切⊙O于F且与CP交于G,CH切⊙O于C且与AB的延长线交于H,如果GP2=GD•GC,AD平分∠BAP并交HP于M.
求证:(1)AB为⊙O的直径;
(2)MH=MP;
(3)(证明过程中最好用数字表示角).

【答案】分析:(1)连接BF,由切割线定理和已知条件可得:GP=GF,则∠1=∠2=∠3,再由弦切角定理得:∠3=∠4,从而推出∠1=∠4,又根据AB⊥CD,推得∠1+∠PAB=90°,证出∠AFB=90°,即AB为⊙O的直径;
(2)连接AC,根据题意证明∠5=∠7,则△ACH≌△ADP,所以AH=AP,又AD平分∠BAP,根据等腰三角形性质:顶角的平分线也是底边的中线得到MH=MP.
(3)可证明△AFD∽△ADP,则,又AP=AH,则AD2=AH•AF,再证明△AED∽△ADB,则,所以AD2=AE•AB,即得AH•AF=AE•AB,再化成比例式
解答: 证明:(1)连接BF,
∵GF是⊙O切线,GDC是⊙O的割线,∴GF2=GD•GC,
∵GP2=GD•GC,∴∠1=∠2,∠2=∠3,
又FG切⊙O于F,∴∠3=∠4,
∴∠1=∠4,又AB⊥CD于E,∴∠1+∠PAB=90°(2分)
∴∠AFB=90°,
∴AB为⊙O的直径.(3分)

(2)连接AC.
∵AB为⊙O的直径,AB⊥CD.
,∴AC=AD,∠5=∠6
又AD平分∠BAF,∴∠6=∠7,∴∠5=∠7(4分)
∵CH切⊙O于C,∴∠8=∠9,∴∠ACH=∠ADP,
∴△ACH≌△ADP(5分)
∴AH=AP,又AD平分∠BAP,
∴MH=MP.(6分)

(3)连接DF、DB,
∵∠1=∠4,∠4=∠10,∴∠1=∠10,(7分)
∴△AFD∽△ADP,∴
∵AP=AH,
∴AD2=AH•AF.(8分)
又AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°,
又AB⊥CD于E,
∴△AED∽△ADB,∴
∴AD2=AE•AB.(9分)
又AD2=AH•AF,∴AE•AB=AH•AF,
.(10分)
点评:本题考查的是相似三角形的应用和切割线定理,切线的性质定理,等腰三角形的性质定理.
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