Question

如图是不倒翁的正视图，不倒翁的圆形脸恰好与帽子边沿PA、PB分别相切于点A、B，不倒翁的鼻尖正好是圆心O，若∠OAB=25°，求∠APB的度数．

Answer 1

【答案】分析：连OB，OP，由AO=OB得，∠OAB=∠OBA=25°，∠AOB=180°-2∠BAB=130°；因为PA、PB分别相切于点A、B，则∠OAP=∠OBP=90°，所以∠APB=180°-∠AOB=50°．
解答：解：方法一：∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴PA=PB，
∴OA⊥PA，
∵∠OAB=25°，
∴∠PAB=65，
∴∠APB=180-65°×2=50°；

方法二：连接OB，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
∴∠OAP+∠OBP=180°，
∴∠APB+∠AOB=180°；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=25°，
∴∠AOB=130°，
∴∠APB=50°；

方法三：连接OP交AB于C，
∵PA、PB切⊙O于A、B，
∴OA⊥PA，OP⊥AB，
OP平分∠APB，
∴∠APC=∠OAB=25°，
∴∠APB=50°．
点评：本题利用了有多种证法，利用了切线的性质，三角形和四边形的内角和定理，切线长定理，全等三角形的判定和性质求解．