Question

18．如图，在△ABC，∠CAB=∠CBA=45°，CA=CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N．
（1）求证：∠BCN=∠CAE；
（2）求证：AE=CN+EN（请用多种方法证明）

Answer 1

分析 （1）根据同角的余角相等即可证明；
（2）法一：延长CN至F，使CF=AE，连接BF，证△CAE≌△BCF，推出BE=BF，证△EBN≌△FBN，推出NE=NF即可；
法二：在AE上截取AF=CN，证△ACF≌△CBN，推出CF=BN，证△EBN≌△ECF，推出NE=NF即可．

解答 证明：（1）∵∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠ACB=90°，
∵CN⊥AE，
∴∠COE=90°，
∴∠CEA+∠1=90°，∠CEA+∠2=90°，
∴∠BCN=∠CAE；
（2）法一：如图1，延长CN至F，使CF=AE，连接BF，
在△CAE和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠BCN=∠CAE}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴∠ACE=∠CBF=90°，CE=BF，
∵∠CBA=45°，
∴∠FBN=45°=∠EBN，
∵E为BC中点，
∴CE=BE=BF，
在△EBN和△FBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{BE=BF}\\{∠EBN=∠FBN}\\{BN=BN}\end{array}\right.$，
∴△EBN≌△FBN（SAS），
∴NE=NF，
∴AE=CN+EN．
法二：如图2，在AE上截取AF=CN，
在△ACF和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CN}\\{∠BCN=∠CAE}\\{AC=CB}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△CBN，
∴CF=BN，∠ACF=∠B=45°，
∴∠ECF=45°=∠B，
在△BEN和△CEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BE}\\{∠ECF=∠B}\\{CF=BN}\end{array}\right.$，
∴△BEN≌△CEF，
∴EN=EF，
∴AE=AF+EF=CN+EN．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：无论是截长还是补短，构造出全等三角形是解题的关键．