【题目】已知,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为直线AB上一点,作直线CD,AE⊥CD于E,BF⊥CD于F.
(1)若D在线段AB上,如图,试猜想线段EF、AE和BF之间的数量关系,并证明你的猜想;
(2)若D在线段AB的延长线上,请你根据题意画出图形,试猜想线段EF、AE和BF之间的数量关系,并证明你的猜想.
【答案】(1)AE=EF+BF,证明见解析;(2)画图见解析,EF=AE+BF,证明见解析.
【解析】
(1)根据同角的余角相等得出∠CAE=∠BCF,又因为AC=BC,AE⊥CD于E,BF⊥CD交CD的延长线于F,根据AAS证明△ACE≌△CBF,根据全等三角形的性质与等量关系即可得出结论;
(2)同(1)证明△ACE≌△CBF,可得出结论EF=AE+BF.
解:(1)AE=EF+BF,证明如下:
∵AE⊥CD,
∴∠AEC=90°,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∵∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠CAE=∠BCF,
∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴∠AEC=∠BFC=90°,
在△ACE与△CBF中,
,
∴△ACE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,CE=BF,
∴AE=CF=EF+CE=EF+BF.
(2)如图,EF=AE+BF,证明如下:
∵AE⊥CD,
∴∠AEC=90°,
∴∠ACE+∠CAE=90°,
∵∠ACE+∠BCF=90°,
∴∠CAE=∠BCF,
∵AE⊥CD,BF⊥CD,
∴∠AEC=∠BFC=90°,
在△ACE与△CBF中,
,
∴△ACE≌△CBF(AAS),
∴AE=CF,CE=BF,
∴EF=CF+CE=AE+BF.
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【题目】甲、乙两组工人同时加工某种零件,乙组工作中有一次停产更换设备,更换设备
后,乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工零件的数量(件)与时间(时)的函数图
象如图所示.
(1)求甲组加工零件的数量y与时间之间的函数关系式.(2分)
(2)求乙组加工零件总量的值.(3分)
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱,每够300件装一箱,零件装箱的时间忽略不计,求经过多长时间恰好装满第1箱?再经过多长时间恰好装满第2箱?(5分)
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【题目】如图,一架5米长的梯子AB斜靠在一面墙上,梯子底端B到墙底的垂直距离BC为3米.
(1)求这个梯子的顶端A到地面的距离AC的值;
(2)如果梯子的顶端A沿墙AC竖直下滑1米到点D处,求梯子的底端B在水平方向滑动了多少米?
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【题目】王老师想给李老师打电话,但忘了电话号码中的最后两个数字,只记得号码是:1 3 9 0 7 9 7 8 9○□(○,□表示忘记的最后两个数字).王老师还记得○与□都是大于3的偶数.
(1)用列举法表示○□所有的可能情况;
(2)若后两位数字相同,王老师一次拔对李老师电话号码的概率是多少?
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【题目】如图,AB=BC,AB⊥BC,过点B作直线l,过点A作AE⊥l于E,过点C作CF⊥l于F,则下列说法中正确的是( )
A.AC=AE+BEB.EF=AE+EBC.AC=EB+CFD.EF=EB+CF
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【题目】一辆慢车从甲地匀速行驶至乙地,一辆快车同时从乙地出发匀速行驶至甲地,两车之间的距离y(千米)与行驶时间x(小时)的对应关系如图所示:
(1)甲乙两地相距 千米,慢车速度为 千米/小时.
(2)求快车速度是多少?
(3)求从两车相遇到快车到达甲地时y与x之间的函数关系式.
(4)直接写出两车相距300千米时的x值.
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【题目】已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D为BC的中点.
(1)如图①,若点E、F分别为AB、AC上的点,且DE⊥DF,求证:BE=AF;
(2)若点E、F分别为AB、CA延长线上的点,且DE⊥DF,那么BE=AF吗?请利用图②说明理由.
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【题目】(1)如图①,在四边形ABCD中,AB∥DC,E是BC的中点,若AE是∠BAD的平分线,试探究AB,AD,DC之间的等量关系,证明你的结论;
(2)如图②,在四边形ABCD中,AB∥DC,AF与DC的延长线交于点F,E是BC的中点,若AE是∠BAF的平分线,试探究AB,AF,CF之间的等量关系,证明你的结论.
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