Question

【题目】已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为直线AB上一点，作直线CD，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F．

（1）若D在线段AB上，如图，试猜想线段EF、AE和BF之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）若D在线段AB的延长线上，请你根据题意画出图形，试猜想线段EF、AE和BF之间的数量关系，并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）AE＝EF+BF，证明见解析；（2）画图见解析，EF＝AE+BF，证明见解析.

【解析】

（1）根据同角的余角相等得出∠CAE＝∠BCF，又因为AC＝BC，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F，根据AAS证明△ACE≌△CBF，根据全等三角形的性质与等量关系即可得出结论；

（2）同（1）证明△ACE≌△CBF，可得出结论EF＝AE+BF．

解：（1）AE＝EF+BF，证明如下：

∵AE⊥CD，

∴∠AEC＝90°，

∴∠ACE+∠CAE＝90°，

∵∠ACE+∠BCF＝90°，

∴∠CAE＝∠BCF，

∵AE⊥CD，BF⊥CD，

∴∠AEC＝∠BFC＝90°，

在△ACE与△CBF中，

，

∴△ACE≌△CBF（AAS），

∴AE＝CF，CE＝BF，

∴AE＝CF=EF+CE=EF+BF．

（2）如图，EF＝AE+BF，证明如下：

∵AE⊥CD，

∴∠AEC＝90°，

∴∠ACE+∠CAE＝90°，

∵∠ACE+∠BCF＝90°，

∴∠CAE＝∠BCF，

∵AE⊥CD，BF⊥CD，

∴∠AEC＝∠BFC＝90°，

在△ACE与△CBF中，

，

∴△ACE≌△CBF（AAS），

∴AE＝CF，CE＝BF，

∴EF＝CF+CE＝AE+BF．