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如图,平面直角坐标系中,直线AB与x轴,y轴分别交于A(3,0),B(0,
3
)两点,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥x轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S△ACD=
3
6
,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似?若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)设直线AB的解析式为y=kx+b,
∵A(3,0),B(0,
3
),
3k+b=0
b=
3
,解得
k=-
3
3
b=
3

∴直线AB的解析式为y=-
3
3
x+
3


(2)设点C的坐标为(x,-
3
3
x+
3
),则0≤x≤3,OD=x,AD=OA-OD=3-x,CD=-
3
3
x+
3

∵S△ACD=
3
6

1
2
(3-x)(-
3
3
x+
3
)=
3
6

整理,得x2-6x+8=0,
解得x1=2,x2=4(不合题意舍去),
∴C的坐标为(2,
3
3
);

(3)以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似时,分三种情况:
①当∠OBP=90°时,如图.
若△BPO△OAB,则∠BPO=∠OAB=30°,BP=
3
OB=3,
∴P1(3,
3
);
若△BOP△OAB,则∠BOP=∠OAB=30°,BP=
3
3
OB=1,
∴P2(1,
3
);
②当∠OPB=90°时,如图.
过点O作OP⊥BA于点P,过点P作PM⊥OA于点M.
若△PBO△OBA,则∠BOP=∠BAO=30°,
在Rt△PBO中,BP=
1
2
OB=
3
2
,OP=
3
BP=
3
2

∵在Rt△PMO中,∠OPM=30°,
∴OM=
1
2
OP=
3
4
,PM=
3
OM=
3
3
4

∴P3
3
4
3
3
4
);
若△POB△OBA,则∠OBP=∠BAO=30°,∠POM=30°.
∴PM=
3
3
OM=
3
4

∴P4
3
4
3
4
);
③当∠POB=90°时,点P在x轴上,不符合要求.
综合所述,符合条件的点有四个,分别是:P1(3,
3
),P2(1,
3
),P3
3
4
3
3
4
),P4
3
4
3
4
).
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,在平面直角坐标系中,函数y=x的图象l是第一、三象限的角平分线.
实验与探究:
由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出它们的坐标:B′______、C′______;
归纳与发现:
结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(m,n)关于第一、三象限的角平分线l的对称点P′的坐标为______;
运用与拓广:
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(2)问甲、乙、丙三辆车,谁是进货车,谁是出货车;
(3)若甲、乙、丙三车一起工作,一天工作8小时,仓库的库存量有什么变化.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

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(2)当t=______时,△APQ与△AOB相似;
(3)(2)中当△APQ与△AOB相似时,线段PQ所在直线的函数表达式为______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:单选题

某电视台“走基层”栏目的一位记者乘汽车赴320km外的农村采访,全程的前一部分为高速公路,后一部分为乡村公路.若汽车在高速公路和乡村公路上分别以某一速度匀速行驶,汽车行驶的路程y(单位:km)与时间x(单位:h)之间的关系如图所示,则下列结论正确的是(  )
A.汽车在高速公路上的行驶速度为100km/h
B.乡村公路总长为90km
C.汽车在乡村公路上的行驶速度为60km/h
D.该记者在出发后5h到达采访地

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科目:初中数学 来源:不详 题型:填空题

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4
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),则k+b=______.

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科目:初中数学 来源:不详 题型:解答题

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(1)根据图象求出上述气体的压强p与温度t的函数关系式;
(2)求出当压强p为200千帕时,上述气体的温度.

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同步练习册答案