Question

4．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），其中y≠0，我们把点P′（-x+1，1-$\frac{1}{y}$）叫做点P的衍生点．已知点A₁的衍生点为A₂，点A₂的衍生点为A₃，点A₃的衍生点为A₄，…，这样依次得到点A₁，A₂，A₃，…，A_n，…．若点A₁的坐标为（2，-1），那么点A₂₀₁₅的坐标为（2，2）．

Answer 1

分析 根据衍生点的定义，若点A₁的坐标为（a，b），分别计算点A₂，A₃，A₄，A₅，A₆，A₇的坐标，根据计算结果得到这些点的坐标每6个一循环，则可利用2015=335×6+5，可判断点A₂₀₁₅的坐标与点A₅相同，即为（a，$\frac{b-1}{b}$）．

解答 解：若点A₁的坐标为（a，b），
点A₁的衍生点为A₂的坐标为（-a+1，1-$\frac{1}{b}$），即A₂（-a+1，$\frac{b-1}{b}$）；
点A₂的衍生点为A₃的坐标为（a-1+1，1-$\frac{1}{\frac{b-1}{b}}$），即A₃（a，-$\frac{1}{b-1}$）；
点A₃的衍生点为A₄的坐标为（-a+1，1-$\frac{1}{-\frac{1}{b-1}}$），即A₄（-a+1，b）；
点A₄的衍生点为A₅的坐标为（a-1+1，1-$\frac{1}{b}$），即A₅（a，$\frac{b-1}{b}$）；
点A₅的衍生点为A₆的坐标为（-a+1，1-$\frac{1}{\frac{b-1}{b}}$），即A₆（-a+1，-$\frac{1}{b-1}$）；
点A₆的衍生点为A₇的坐标为（a-1+1，1-$\frac{1}{-\frac{1}{b-1}}$），即A₇（a，b），
…
而2015=335×6+5，
所以点A₂₀₁₅的坐标与点A₅相同，即为（a，$\frac{b-1}{b}$）．
∵点A₁的坐标为（2，-1），
∴a=2，b=-1．
∵a=2，$\frac{b-1}{b}$=$\frac{-1-1}{-1}$=2，
∴点A₂₀₁₅的坐标为（2，2），
故答案为：（2，2）．

点评 本题考查点的坐标的变化规律，将数学周期的思想进行了初步渗透，属于中档题，利用衍生点的定义得出规律：这些点的坐标每6个一循环，即点A₁与点A₇重合是解题关键．