Question

【题目】如图，在中，，点D是AB的中点，连结CD，过点B作BG⊥CE，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连结DF．给出以下五个结论：

①；②；③点F是GE的中点；④；⑤，其中正确结论的个数是（ ）

A. B. C. D. 2

Answer 1

【答案】A

【解析】

由△AFG∽△BFC，可确定结论①正确；
由△ABG≌△BCD，△AFG≌△AFD，可确定结论②正确；
由△AFG≌△AFD可得FG=FD＞FE，所以点F不是GE中点，可确定结论③错误；
由△AFG≌△AFD可得AG=AB=BC，进而由△AFG∽△BFC确定点F为AC的三等分点，可确定结论④正确；
因为F为AC的三等分点，所以S△ABF=S△ABC，又S△BDF=S△ABF，所以S△ABC=6S△BDF，由此确定结论⑤错误．

依题意可得BC∥AG，
∴△AFG∽△BFC，

∴＝，
又AB=BC，

∴＝,

故结论①正确；
如右图，∵∠1+∠3=90°，∠1+∠4=90°，

∴∠3=∠4．
在△ABG与△BCD中，

，
∴△ABG≌△BCD（ASA），
∴AG=BD，又BD=AD，

∴AG=AD；
在△AFG与△AFD中，

，
∴△AFG≌△AFD（SAS），

∴∠5=∠2，
又∠5+∠3=∠1+∠3=90°，

∴∠5=∠1，
∴∠1=∠2，即∠ADF=∠CDB．
故结论②正确；
∵△AFG≌△AFD，

∴FG=FD，又△FDE为直角三角形，

∴FD＞FE，
∴FG＞FE，即点F不是线段GE的中点．
故结论③错误；
∵△ABC为等腰直角三角形，

∴AC=AB；
∵△AFG≌△AFD，∴AG=AD=AB=BC；
∵△AFG∽△BFC，∴＝，∴FC=2AF，
∴AF=AC=AB．
故结论④正确；
∵AF=AC，

∴S△ABF=S△ABC；又D为中点，

∴S△BDF=S△ABF，
∴S△BDF=S△ABC，即S△ABC=6S△BDF．
故结论⑤错误．
综上所述，结论①②④正确，

故选：A