Question

【题目】如图，在中，，以为直径的与边交于点，过点作交于点，连接．

求证：是的切线；

若的半径为，，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OD，根据等边对等角得到∠A=∠ADO，再结合平行线的性质可得到∠DOE=∠COE，从而得到△ODE≌△OCE，根据全等三角形的性质得到∠ODE=∠ACB=90°，由此得到结论；

（2）连接CD，根据平行线等分线段定理得到BE=CE，根据勾股定理得到AB=10，由三角形的面积公式得到CD的长．在Rt△CBD中，由勾股定理即可得到结论．

（1）连接OD．

∵OA=OD，∴∠A=∠ADO．

∵OE∥AB，∴∠A=∠EOC，∠ADO=∠DOE，∴∠DOE=∠COE．

在△ODE与△OCE中，∵OD=OC，∠DOE=∠COE，OE=OE，∴△ODE≌△OCE，∴∠ODE=∠ACB=90°，∴DE是⊙O的切线；

（2）连接CD．

∵OE∥AB，AO=OC，∴BE=EC．

∵⊙O的半径为3，EC=4，∴BC=8，AC=6．

∵∠ACB=90°，∴AB=10．

∵AC是直径，∴∠ADC=90°．

∵S△ABC=ACBC=ABCD，∴6×8=10×CD，解得：CD=，∴BD==．