解:(1)∵一次函数y=
x+3的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点
A(a,1),
∴
a+3=1.
解得a=-4.
∴A(-4,1).
∴-4k=1.
解得k=-
.
∴正比例函数的解析式为y=-
x;
(2)如图1,P
1(-8,0)或P
2(0,2);
(3)依题意,得点B的坐标为(m,
m+3),点C的坐标为(m,-
m).
作AH⊥BC于点H,H的坐标为(m,1).
以下分两种情况:
(ⅰ)当m<-4时,
BC=-
m-(
m+3)
=-
m-3.
AH=-4-m.
则S
△ABC=
BC•AH
=
(-
m-3)(-4-m)
=
m
2+3m+6;
(ⅱ)当m>-4时,
BC=(
m+3)+
m=
m+3.
AH=m+4.
则S
△ABC=
BC•AH
=
(
m+3)(4+m)
=
m
2+3m+6;
综上所述,S
△ABC=
m
2+3m+6(m≠-4).
分析:(1)将A(a,1)代入一次函数y=
x+3求出a的值,再将A点坐标代入正比例函数解析式求出k的值,从而得到正比例函数解析式;
(2)分两种情况:P在x轴上和P在y轴上,令PA=OA即可解答.
(3)依题意,得点B的坐标为(m,
m+3),点C的坐标为(m,-
m),作AH⊥BC于点H,H的坐标为(m,1).然后分两种情况讨论:(ⅰ)当m<-4时,(ⅱ)当m>-4时.两种情况下,分别求出BC、AH的表达式,代入计算即可.
点评:本题考查了一次函数综合题,涉及函数图象与坐标轴的交点、三角形的面积与坐标之间的关系、同时考查了分类讨论与数形结合的数学思想.