Question

20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，点E在AC上，BE交CD于G，EF⊥BE交AB于F，CE：BC：AE=1：2：3．
（1）求证：△BCE∽△ACB；
（2）求证：BG=EG；
（3）求$\frac{EF}{EB}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
（2）只要证明GE=GC，GB=GC即可．
（3）由∠A=∠BCD，推出tan∠CBD=tan∠A=$\frac{1}{2}$=$\frac{BD}{CD}$，设BD=m，则CD=2m．设BG=CG=x，
在Rt△BDG中，根据BG²=BD²+DG²，得到x²=a²+（2a-x）²，求得x=$\frac{5}{4}$a，所以tan∠DBG=$\frac{DG}{BD}$=$\frac{\frac{3}{4}a}{a}$=$\frac{3}{4}$，根据$\frac{EF}{BE}$=tan∠EBF，即可解决问题．

解答 证明：（1）∵CE：BC：AE=1：2：3，设EC=a，BC=2a，AE=3a则AC=4a，
∴$\frac{EC}{BC}$=$\frac{BC}{AC}$=2，∵∠BCE=∠ACB，
∴△BCE∽△ACB，

（2）∵△BCE∽△ACB，CD⊥AB，
∴∠ABC=∠BEC，∠BDC=90°
∵∠ABC+∠BCD=90°，∵∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠GEC=∠GCE，
∴GE=GC，同理可证GB=GC，
∴BG=EG．

（3）∵∠A=∠BCD，
∴tan∠CBD=tan∠A=$\frac{1}{2}$=$\frac{BD}{CD}$，设BD=m，则CD=2m．设BG=CG=x，
在Rt△BDG中，∵BG²=BD²+DG²，
∴x²=a²+（2a-x）²，
∴x=$\frac{5}{4}$a，
∴tan∠DBG=$\frac{DG}{BD}$=$\frac{\frac{3}{4}a}{a}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{EF}{BE}$=tan∠EBF=$\frac{3}{4}$．

点评 本题考查相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．