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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    精英家教网已知：如图，把矩形OCBA放置于直角坐标系中，OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
    （1）试直接写出点D的坐标；
    （ 2 ）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；
    （3）试问在（2）抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得
    |TO-TB|的值最大？若存在，则求出点T点的坐标；若不存在，则说明理由．
    分析：（1）根据平移的性质得出D点的坐标，AD=BM，D点的纵坐标等于M点的纵坐标；
    （2）根据D点的坐标为（-1.5，2）；B点的坐标为（3，2），以及图象过（0，0），得出二次函数解析式，进而根据相似三角形的性质得出P点的坐标；
    （3）因为TD=TB，所以求|TO-TB|的值最大转化为求|TO-TD|的最大值，只有T、D、O在同一条直线上的时候，才能取得最大值，最大值为OD的长度，因此延长DO，与对称轴的交点即为所求之T点．
    解答：解：（1）∵OC=3，BC=2，取AB的中点M，连接MC，把△MBC沿x轴的负方向平移OC的长度后得到△DAO．
    ∴D点的坐标为（-1.5，2）；

    精英家教网（2）根据D点的坐标为（-1.5，2）；B点的坐标为（3，2），
    以及图象过（0，0），
    ∴代入二次函数解析式y=ax 2+bx+c，
    ∴
    2=
    9
    4
    a-
    3
    2
    b+c
    2=9a+3b+c
    c=0
    ，
    解得：
    a=
    4
    9
    b=-
    2
    3
    c=0
    ，
    ∴二次函数解析式为：y=
    4
    9
    x 2-
    2
    3
    x，
    假设P点的横坐标为x，纵坐标为：
    4
    9
    x 2-
    2
    3
    x，
    ∴当△DAO∽△PQO，
    ∴
    DA
    PQ
    =
    AO
    OQ
    ，
    ∴
    3
    2
    4
    9
    x2-
    2
    3
     x
    =
    2
    x
    ，
    解得：x=0（不合题意舍去）或x=
    51
    16
    ，
    当x=
    51
    16
    时，y=
    4
    9
    x 2-
    2
    3
    x=
    153
    64
    ，
    ∴P点的坐标为：（
    51
    16
    ，
    153
    64
    ），
    当△DAO∽△OQP，
    ∴
    DA
    OQ
    =
    AO
    PQ
    ，
    ∴
    3
    2
    x
    =
    2
    4
    9
    x2-
    2
    3
    x
    ，
    解得：x=0（不合题意舍去）或x=4.5，
    当x=4.5时，y=
    4
    9
    x 2-
    2
    3
    x=6，
    ∴P点的坐标为：（4.5，6），
    故P点的坐标为：（4.5，6）或（
    51
    16
    ，
    153
    64
    ）；

    （3）因为TD=TB，所以求|TO-TB|的值最大转化为求|TO-TD|的最大值，精英家教网
    T、D、O组成三角形，根据两边之差小于第3边，即|TO-TD|＜OD，
    只有T、D、O在同一条直线上的时候，才能取得最大值，最大值为OD的长度，
    因此延长DO，与对称轴的交点即为所求之T点，
    将D（-1.5，2），O（0，0）代入y=kx+b，
    k=-
    4
    3
    ，
    y=-
    4
    3
    x，
    ∴x=
    3
    4
    ，
    y=-1，
    即T点的坐标为（
    3
    4
    ，-1），
    故使得|TO-TB|的值最大T点的坐标为（
    3
    4
    ，-1）．
    点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，主要涉及待定系数法求二次函数解析式以及相似三角形的应用等知识，主要考查学生数形结合的数学思想方法，以及等量代换思想的灵活应用．
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    （1）试直接写出点D的坐标；
    （2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连接OP．
    ①若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标；
    ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？

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    （2）已知点B与点D在经过原点的抛物线上，点P在第一象限内的该抛物线上移动，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP．若以O、P、Q为顶点的三角形与△DAO相似，试求出点P的坐标．

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    （1997•北京）已知：如图，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上，连接AC，将△ABC沿AC翻折，点B落在该坐标平面内，设这个落点为D，CD交x轴于点E．如果CE=5，OC、OE的长是关于x的方程x2+（m-1）x+12=0的两个根，并且OC＞OE．
    （1）求点D的坐标；
    （2）如果点F是AC的中点，判断点（8，-20）是否在过D、F两点的直线上，并说明现由．

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    科目：初中数学 来源：2013年5月中考数学模拟试卷（15）（解析版） 题型：解答题

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    ②试问在抛物线的对称轴上是否存在一点T，使得|TO-TB|的值最大？

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